Theorem enfin1ai 8798

Description: Ia-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enfin1ai	|- ( A ~~ B -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )

Proof of Theorem enfin1ai

Dummy variables f x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 7604	. . 3 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
2		bren 7565	. . 3 |- ( B ~~ A <-> E. f f : B -1-1-onto-> A )
3	1, 2	sylib 198	. 2 |- ( A ~~ B -> E. f f : B -1-1-onto-> A )
4		elpwi 3966	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P B -> x C_ B )
5		simplr 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> A e. FinIa )
6		imassrn 5170	. . . . . . . . . 10 |- ( f " x ) C_ ran f
7		f1of 5801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> f : B --> A )
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> f : B --> A )
9		frn 5722	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : B --> A -> ran f C_ A )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ran f C_ A )
11	6, 10	syl5ss 3455	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " x ) C_ A )
12		fin1ai 8707	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. FinIa /\ ( f " x ) C_ A ) -> ( ( f " x ) e. Fin \/ ( A \ ( f " x ) ) e. Fin ) )
13	5, 11, 12	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( f " x ) e. Fin \/ ( A \ ( f " x ) ) e. Fin ) )
14		f1of1 5800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> f : B -1-1-> A )
15	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> f : B -1-1-> A )
16		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> x C_ B )
17		vex 3064	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> x e. _V )
19		f1imaeng 7615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : B -1-1-> A /\ x C_ B /\ x e. _V ) -> ( f " x ) ~~ x )
20	15, 16, 18, 19	syl3anc 1232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " x ) ~~ x )
21		enfi 7773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f " x ) ~~ x -> ( ( f " x ) e. Fin <-> x e. Fin ) )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( f " x ) e. Fin <-> x e. Fin ) )
23		df-f1 5576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : B -1-1-> A <-> ( f : B --> A /\ Fun `' f ) )
24	23	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : B -1-1-> A -> Fun `' f )
25		imadif 5646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun `' f -> ( f " ( B \ x ) ) = ( ( f " B ) \ ( f " x ) ) )
26	15, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " ( B \ x ) ) = ( ( f " B ) \ ( f " x ) ) )
27		f1ofo 5808	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> f : B -onto-> A )
28		foima 5785	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : B -onto-> A -> ( f " B ) = A )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> ( f " B ) = A )
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " B ) = A )
31	30	difeq1d 3562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( f " B ) \ ( f " x ) ) = ( A \ ( f " x ) ) )
32	26, 31	eqtrd 2445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " ( B \ x ) ) = ( A \ ( f " x ) ) )
33		difssd 3573	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( B \ x ) C_ B )
34		vex 3064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- f e. _V
35	7	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> f : B --> A )
36		dmfex 6744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. _V /\ f : B --> A ) -> B e. _V )
37	34, 35, 36	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> B e. _V )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> B e. _V )
39		difexg 4544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. _V -> ( B \ x ) e. _V )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( B \ x ) e. _V )
41		f1imaeng 7615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : B -1-1-> A /\ ( B \ x ) C_ B /\ ( B \ x ) e. _V ) -> ( f " ( B \ x ) ) ~~ ( B \ x ) )
42	15, 33, 40, 41	syl3anc 1232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " ( B \ x ) ) ~~ ( B \ x ) )
43	32, 42	eqbrtrrd 4419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( A \ ( f " x ) ) ~~ ( B \ x ) )
44		enfi 7773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ ( f " x ) ) ~~ ( B \ x ) -> ( ( A \ ( f " x ) ) e. Fin <-> ( B \ x ) e. Fin ) )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( A \ ( f " x ) ) e. Fin <-> ( B \ x ) e. Fin ) )
46	22, 45	orbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( ( f " x ) e. Fin \/ ( A \ ( f " x ) ) e. Fin ) <-> ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) ) )
47	13, 46	mpbid 212	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) )
48	4, 47	sylan2 474	. . . . . 6 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x e. ~P B ) -> ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) )
49	48	ralrimiva 2820	. . . . 5 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> A. x e. ~P B ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) )
50		isfin1a 8706	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( B e. FinIa <-> A. x e. ~P B ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) ) )
51	37, 50	syl 17	. . . . 5 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> ( B e. FinIa <-> A. x e. ~P B ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) ) )
52	49, 51	mpbird 234	. . . 4 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> B e. FinIa )
53	52	ex 434	. . 3 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )
54	53	exlimiv 1745	. 2 |- ( E. f f : B -1-1-onto-> A -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )
55	3, 54	syl 17	1 |- ( A ~~ B -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 186   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1407   E.wex 1635   e. wcel 1844   A.wral 2756   _Vcvv 3061   \ cdif 3413   C_ wss 3416   ~Pcpw 3957   class class class wbr 4397   `'ccnv 4824   ran crn 4826   "cima 4828   Fun wfun 5565   -->wf 5567   -1-1->wf1 5568   -onto->wfo 5569   -1-1-onto->wf1o 5570   ~~ cen 7553   Fincfn 7556  Fin^Iacfin1a 8692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-er 7350  df-en 7557  df-fin 7560  df-fin1a 8699

This theorem is referenced by: (None)