Theorem enfin1ai 8760

Description: Ia-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enfin1ai	|- ( A ~~ B -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )

Proof of Theorem enfin1ai

Dummy variables f x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 7561	. . 3 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
2		bren 7522	. . 3 |- ( B ~~ A <-> E. f f : B -1-1-onto-> A )
3	1, 2	sylib 196	. 2 |- ( A ~~ B -> E. f f : B -1-1-onto-> A )
4		elpwi 4019	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P B -> x C_ B )
5		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> A e. FinIa )
6		imassrn 5346	. . . . . . . . . 10 |- ( f " x ) C_ ran f
7		f1of 5814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> f : B --> A )
8	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> f : B --> A )
9		frn 5735	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : B --> A -> ran f C_ A )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ran f C_ A )
11	6, 10	syl5ss 3515	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " x ) C_ A )
12		fin1ai 8669	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. FinIa /\ ( f " x ) C_ A ) -> ( ( f " x ) e. Fin \/ ( A \ ( f " x ) ) e. Fin ) )
13	5, 11, 12	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( f " x ) e. Fin \/ ( A \ ( f " x ) ) e. Fin ) )
14		f1of1 5813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> f : B -1-1-> A )
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> f : B -1-1-> A )
16		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> x C_ B )
17		vex 3116	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> x e. _V )
19		f1imaeng 7572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : B -1-1-> A /\ x C_ B /\ x e. _V ) -> ( f " x ) ~~ x )
20	15, 16, 18, 19	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " x ) ~~ x )
21		enfi 7733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f " x ) ~~ x -> ( ( f " x ) e. Fin <-> x e. Fin ) )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( f " x ) e. Fin <-> x e. Fin ) )
23		df-f1 5591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : B -1-1-> A <-> ( f : B --> A /\ Fun `' f ) )
24	23	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : B -1-1-> A -> Fun `' f )
25		imadif 5661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun `' f -> ( f " ( B \ x ) ) = ( ( f " B ) \ ( f " x ) ) )
26	15, 24, 25	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " ( B \ x ) ) = ( ( f " B ) \ ( f " x ) ) )
27		f1ofo 5821	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> f : B -onto-> A )
28		foima 5798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : B -onto-> A -> ( f " B ) = A )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> ( f " B ) = A )
30	29	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " B ) = A )
31	30	difeq1d 3621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( f " B ) \ ( f " x ) ) = ( A \ ( f " x ) ) )
32	26, 31	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " ( B \ x ) ) = ( A \ ( f " x ) ) )
33		difssd 3632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( B \ x ) C_ B )
34		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- f e. _V
35	7	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> f : B --> A )
36		dmfex 6739	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. _V /\ f : B --> A ) -> B e. _V )
37	34, 35, 36	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> B e. _V )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> B e. _V )
39		difexg 4595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. _V -> ( B \ x ) e. _V )
40	38, 39	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( B \ x ) e. _V )
41		f1imaeng 7572	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : B -1-1-> A /\ ( B \ x ) C_ B /\ ( B \ x ) e. _V ) -> ( f " ( B \ x ) ) ~~ ( B \ x ) )
42	15, 33, 40, 41	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " ( B \ x ) ) ~~ ( B \ x ) )
43	32, 42	eqbrtrrd 4469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( A \ ( f " x ) ) ~~ ( B \ x ) )
44		enfi 7733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ ( f " x ) ) ~~ ( B \ x ) -> ( ( A \ ( f " x ) ) e. Fin <-> ( B \ x ) e. Fin ) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( A \ ( f " x ) ) e. Fin <-> ( B \ x ) e. Fin ) )
46	22, 45	orbi12d 709	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( ( f " x ) e. Fin \/ ( A \ ( f " x ) ) e. Fin ) <-> ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) ) )
47	13, 46	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) )
48	4, 47	sylan2 474	. . . . . 6 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x e. ~P B ) -> ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) )
49	48	ralrimiva 2878	. . . . 5 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> A. x e. ~P B ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) )
50		isfin1a 8668	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( B e. FinIa <-> A. x e. ~P B ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) ) )
51	37, 50	syl 16	. . . . 5 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> ( B e. FinIa <-> A. x e. ~P B ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) ) )
52	49, 51	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> B e. FinIa )
53	52	ex 434	. . 3 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )
54	53	exlimiv 1698	. 2 |- ( E. f f : B -1-1-onto-> A -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )
55	3, 54	syl 16	1 |- ( A ~~ B -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   ran crn 5000   "cima 5002   Fun wfun 5580   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   -onto->wfo 5584   -1-1-onto->wf1o 5585   ~~ cen 7510   Fincfn 7513  Fin^Iacfin1a 8654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-fin 7517  df-fin1a 8661

This theorem is referenced by: (None)