Theorem enfin1ai 8220

Description: Ia-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enfin1ai	|- ( A ~~ B -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )

Proof of Theorem enfin1ai

Dummy variables f x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 7115	. . 3 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
2		bren 7076	. . 3 |- ( B ~~ A <-> E. f f : B -1-1-onto-> A )
3	1, 2	sylib 189	. 2 |- ( A ~~ B -> E. f f : B -1-1-onto-> A )
4		elpwi 3767	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P B -> x C_ B )
5		simplr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> A e. FinIa )
6		imassrn 5175	. . . . . . . . . 10 |- ( f " x ) C_ ran f
7		f1of 5633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> f : B --> A )
8	7	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> f : B --> A )
9		frn 5556	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : B --> A -> ran f C_ A )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ran f C_ A )
11	6, 10	syl5ss 3319	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " x ) C_ A )
12		fin1ai 8129	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. FinIa /\ ( f " x ) C_ A ) -> ( ( f " x ) e. Fin \/ ( A \ ( f " x ) ) e. Fin ) )
13	5, 11, 12	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( f " x ) e. Fin \/ ( A \ ( f " x ) ) e. Fin ) )
14		f1of1 5632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> f : B -1-1-> A )
15	14	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> f : B -1-1-> A )
16		simpr 448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> x C_ B )
17		vex 2919	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> x e. _V )
19		f1imaeng 7126	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : B -1-1-> A /\ x C_ B /\ x e. _V ) -> ( f " x ) ~~ x )
20	15, 16, 18, 19	syl3anc 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " x ) ~~ x )
21		enfi 7284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f " x ) ~~ x -> ( ( f " x ) e. Fin <-> x e. Fin ) )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( f " x ) e. Fin <-> x e. Fin ) )
23		df-f1 5418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : B -1-1-> A <-> ( f : B --> A /\ Fun `' f ) )
24	23	simprbi 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : B -1-1-> A -> Fun `' f )
25		imadif 5487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun `' f -> ( f " ( B \ x ) ) = ( ( f " B ) \ ( f " x ) ) )
26	15, 24, 25	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " ( B \ x ) ) = ( ( f " B ) \ ( f " x ) ) )
27		f1ofo 5640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> f : B -onto-> A )
28		foima 5617	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : B -onto-> A -> ( f " B ) = A )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> ( f " B ) = A )
30	29	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " B ) = A )
31	30	difeq1d 3424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( f " B ) \ ( f " x ) ) = ( A \ ( f " x ) ) )
32	26, 31	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " ( B \ x ) ) = ( A \ ( f " x ) ) )
33		difssd 3435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( B \ x ) C_ B )
34		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- f e. _V
35	7	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> f : B --> A )
36		dmfex 5585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. _V /\ f : B --> A ) -> B e. _V )
37	34, 35, 36	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> B e. _V )
38	37	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> B e. _V )
39		difexg 4311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. _V -> ( B \ x ) e. _V )
40	38, 39	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( B \ x ) e. _V )
41		f1imaeng 7126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : B -1-1-> A /\ ( B \ x ) C_ B /\ ( B \ x ) e. _V ) -> ( f " ( B \ x ) ) ~~ ( B \ x ) )
42	15, 33, 40, 41	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " ( B \ x ) ) ~~ ( B \ x ) )
43	32, 42	eqbrtrrd 4194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( A \ ( f " x ) ) ~~ ( B \ x ) )
44		enfi 7284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ ( f " x ) ) ~~ ( B \ x ) -> ( ( A \ ( f " x ) ) e. Fin <-> ( B \ x ) e. Fin ) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( A \ ( f " x ) ) e. Fin <-> ( B \ x ) e. Fin ) )
46	22, 45	orbi12d 691	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( ( f " x ) e. Fin \/ ( A \ ( f " x ) ) e. Fin ) <-> ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) ) )
47	13, 46	mpbid 202	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) )
48	4, 47	sylan2 461	. . . . . 6 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x e. ~P B ) -> ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) )
49	48	ralrimiva 2749	. . . . 5 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> A. x e. ~P B ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) )
50		isfin1a 8128	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( B e. FinIa <-> A. x e. ~P B ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) ) )
51	37, 50	syl 16	. . . . 5 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> ( B e. FinIa <-> A. x e. ~P B ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) ) )
52	49, 51	mpbird 224	. . . 4 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> B e. FinIa )
53	52	ex 424	. . 3 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )
54	53	exlimiv 1641	. 2 |- ( E. f f : B -1-1-onto-> A -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )
55	3, 54	syl 16	1 |- ( A ~~ B -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   ran crn 4838   "cima 4840   Fun wfun 5407   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ~~ cen 7065   Fincfn 7068  Fin^Iacfin1a 8114

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072  df-fin1a 8121