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Theorem enfin1ai 8798
Description: Ia-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfin1ai  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. FinIa  ->  B  e. FinIa ) )

Proof of Theorem enfin1ai
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 7604 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
2 bren 7565 . . 3  |-  ( B 
~~  A  <->  E. f 
f : B -1-1-onto-> A )
31, 2sylib 198 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  E. f 
f : B -1-1-onto-> A )
4 elpwi 3966 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P B  ->  x  C_  B )
5 simplr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  ->  A  e. FinIa )
6 imassrn 5170 . . . . . . . . . 10  |-  ( f
" x )  C_  ran  f
7 f1of 5801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : B -1-1-onto-> A  ->  f : B
--> A )
87ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
f : B --> A )
9 frn 5722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : B --> A  ->  ran  f  C_  A )
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  ->  ran  f  C_  A )
116, 10syl5ss 3455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( f " x
)  C_  A )
12 fin1ai 8707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e. FinIa  /\  ( f " x )  C_  A )  ->  (
( f " x
)  e.  Fin  \/  ( A  \  (
f " x ) )  e.  Fin )
)
135, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( ( f "
x )  e.  Fin  \/  ( A  \  (
f " x ) )  e.  Fin )
)
14 f1of1 5800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : B -1-1-onto-> A  ->  f : B -1-1-> A )
1514ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
f : B -1-1-> A
)
16 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  ->  x  C_  B )
17 vex 3064 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  ->  x  e.  _V )
19 f1imaeng 7615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : B -1-1-> A  /\  x  C_  B  /\  x  e.  _V )  ->  ( f " x
)  ~~  x )
2015, 16, 18, 19syl3anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( f " x
)  ~~  x )
21 enfi 7773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f " x ) 
~~  x  ->  (
( f " x
)  e.  Fin  <->  x  e.  Fin ) )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( ( f "
x )  e.  Fin  <->  x  e.  Fin ) )
23 df-f1 5576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : B -1-1-> A  <->  ( f : B --> A  /\  Fun  `' f ) )
2423simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : B -1-1-> A  ->  Fun  `' f )
25 imadif 5646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  `' f  ->  ( f
" ( B  \  x ) )  =  ( ( f " B )  \  (
f " x ) ) )
2615, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( f " ( B  \  x ) )  =  ( ( f
" B )  \ 
( f " x
) ) )
27 f1ofo 5808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : B -1-1-onto-> A  ->  f : B -onto-> A )
28 foima 5785 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : B -onto-> A  -> 
( f " B
)  =  A )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : B -1-1-onto-> A  ->  ( f " B )  =  A )
3029ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( f " B
)  =  A )
3130difeq1d 3562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( ( f " B )  \  (
f " x ) )  =  ( A 
\  ( f "
x ) ) )
3226, 31eqtrd 2445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( f " ( B  \  x ) )  =  ( A  \ 
( f " x
) ) )
33 difssd 3573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( B  \  x
)  C_  B )
34 vex 3064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  f  e. 
_V
357adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  ->  f : B --> A )
36 dmfex 6744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  _V  /\  f : B --> A )  ->  B  e.  _V )
3734, 35, 36sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  ->  B  e.  _V )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  ->  B  e.  _V )
39 difexg 4544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  x )  e. 
_V )
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( B  \  x
)  e.  _V )
41 f1imaeng 7615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : B -1-1-> A  /\  ( B  \  x
)  C_  B  /\  ( B  \  x
)  e.  _V )  ->  ( f " ( B  \  x ) ) 
~~  ( B  \  x ) )
4215, 33, 40, 41syl3anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( f " ( B  \  x ) ) 
~~  ( B  \  x ) )
4332, 42eqbrtrrd 4419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( A  \  (
f " x ) )  ~~  ( B 
\  x ) )
44 enfi 7773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  ( f
" x ) ) 
~~  ( B  \  x )  ->  (
( A  \  (
f " x ) )  e.  Fin  <->  ( B  \  x )  e.  Fin ) )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( ( A  \ 
( f " x
) )  e.  Fin  <->  ( B  \  x )  e. 
Fin ) )
4622, 45orbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( ( ( f
" x )  e. 
Fin  \/  ( A  \  ( f " x
) )  e.  Fin ) 
<->  ( x  e.  Fin  \/  ( B  \  x
)  e.  Fin )
) )
4713, 46mpbid 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( x  e.  Fin  \/  ( B  \  x
)  e.  Fin )
)
484, 47sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  e.  ~P B
)  ->  ( x  e.  Fin  \/  ( B 
\  x )  e. 
Fin ) )
4948ralrimiva 2820 . . . . 5  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  ->  A. x  e.  ~P  B ( x  e.  Fin  \/  ( B  \  x )  e. 
Fin ) )
50 isfin1a 8706 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e. FinIa 
<-> 
A. x  e.  ~P  B ( x  e. 
Fin  \/  ( B  \  x )  e.  Fin ) ) )
5137, 50syl 17 . . . . 5  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  ->  ( B  e. FinIa 
<-> 
A. x  e.  ~P  B ( x  e. 
Fin  \/  ( B  \  x )  e.  Fin ) ) )
5249, 51mpbird 234 . . . 4  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  ->  B  e. FinIa
)
5352ex 434 . . 3  |-  ( f : B -1-1-onto-> A  ->  ( A  e. FinIa  ->  B  e. FinIa ) )
5453exlimiv 1745 . 2  |-  ( E. f  f : B -1-1-onto-> A  ->  ( A  e. FinIa  ->  B  e. FinIa
) )
553, 54syl 17 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. FinIa  ->  B  e. FinIa ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1407   E.wex 1635    e. wcel 1844   A.wral 2756   _Vcvv 3061    \ cdif 3413    C_ wss 3416   ~Pcpw 3957   class class class wbr 4397   `'ccnv 4824   ran crn 4826   "cima 4828   Fun wfun 5565   -->wf 5567   -1-1->wf1 5568   -onto->wfo 5569   -1-1-onto->wf1o 5570    ~~ cen 7553   Fincfn 7556  FinIacfin1a 8692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-er 7350  df-en 7557  df-fin 7560  df-fin1a 8699
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