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Theorem enfin1ai 8760
Description: Ia-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfin1ai  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. FinIa  ->  B  e. FinIa ) )

Proof of Theorem enfin1ai
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 7561 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
2 bren 7522 . . 3  |-  ( B 
~~  A  <->  E. f 
f : B -1-1-onto-> A )
31, 2sylib 196 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  E. f 
f : B -1-1-onto-> A )
4 elpwi 4019 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P B  ->  x  C_  B )
5 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  ->  A  e. FinIa )
6 imassrn 5346 . . . . . . . . . 10  |-  ( f
" x )  C_  ran  f
7 f1of 5814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : B -1-1-onto-> A  ->  f : B
--> A )
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
f : B --> A )
9 frn 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : B --> A  ->  ran  f  C_  A )
108, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  ->  ran  f  C_  A )
116, 10syl5ss 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( f " x
)  C_  A )
12 fin1ai 8669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e. FinIa  /\  ( f " x )  C_  A )  ->  (
( f " x
)  e.  Fin  \/  ( A  \  (
f " x ) )  e.  Fin )
)
135, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( ( f "
x )  e.  Fin  \/  ( A  \  (
f " x ) )  e.  Fin )
)
14 f1of1 5813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : B -1-1-onto-> A  ->  f : B -1-1-> A )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
f : B -1-1-> A
)
16 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  ->  x  C_  B )
17 vex 3116 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  ->  x  e.  _V )
19 f1imaeng 7572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : B -1-1-> A  /\  x  C_  B  /\  x  e.  _V )  ->  ( f " x
)  ~~  x )
2015, 16, 18, 19syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( f " x
)  ~~  x )
21 enfi 7733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f " x ) 
~~  x  ->  (
( f " x
)  e.  Fin  <->  x  e.  Fin ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( ( f "
x )  e.  Fin  <->  x  e.  Fin ) )
23 df-f1 5591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : B -1-1-> A  <->  ( f : B --> A  /\  Fun  `' f ) )
2423simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : B -1-1-> A  ->  Fun  `' f )
25 imadif 5661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  `' f  ->  ( f
" ( B  \  x ) )  =  ( ( f " B )  \  (
f " x ) ) )
2615, 24, 253syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( f " ( B  \  x ) )  =  ( ( f
" B )  \ 
( f " x
) ) )
27 f1ofo 5821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : B -1-1-onto-> A  ->  f : B -onto-> A )
28 foima 5798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : B -onto-> A  -> 
( f " B
)  =  A )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : B -1-1-onto-> A  ->  ( f " B )  =  A )
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( f " B
)  =  A )
3130difeq1d 3621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( ( f " B )  \  (
f " x ) )  =  ( A 
\  ( f "
x ) ) )
3226, 31eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( f " ( B  \  x ) )  =  ( A  \ 
( f " x
) ) )
33 difssd 3632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( B  \  x
)  C_  B )
34 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  f  e. 
_V
357adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  ->  f : B --> A )
36 dmfex 6739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  _V  /\  f : B --> A )  ->  B  e.  _V )
3734, 35, 36sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  ->  B  e.  _V )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  ->  B  e.  _V )
39 difexg 4595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  x )  e. 
_V )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( B  \  x
)  e.  _V )
41 f1imaeng 7572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : B -1-1-> A  /\  ( B  \  x
)  C_  B  /\  ( B  \  x
)  e.  _V )  ->  ( f " ( B  \  x ) ) 
~~  ( B  \  x ) )
4215, 33, 40, 41syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( f " ( B  \  x ) ) 
~~  ( B  \  x ) )
4332, 42eqbrtrrd 4469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( A  \  (
f " x ) )  ~~  ( B 
\  x ) )
44 enfi 7733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  ( f
" x ) ) 
~~  ( B  \  x )  ->  (
( A  \  (
f " x ) )  e.  Fin  <->  ( B  \  x )  e.  Fin ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( ( A  \ 
( f " x
) )  e.  Fin  <->  ( B  \  x )  e. 
Fin ) )
4622, 45orbi12d 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( ( ( f
" x )  e. 
Fin  \/  ( A  \  ( f " x
) )  e.  Fin ) 
<->  ( x  e.  Fin  \/  ( B  \  x
)  e.  Fin )
) )
4713, 46mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( x  e.  Fin  \/  ( B  \  x
)  e.  Fin )
)
484, 47sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  e.  ~P B
)  ->  ( x  e.  Fin  \/  ( B 
\  x )  e. 
Fin ) )
4948ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  ->  A. x  e.  ~P  B ( x  e.  Fin  \/  ( B  \  x )  e. 
Fin ) )
50 isfin1a 8668 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e. FinIa 
<-> 
A. x  e.  ~P  B ( x  e. 
Fin  \/  ( B  \  x )  e.  Fin ) ) )
5137, 50syl 16 . . . . 5  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  ->  ( B  e. FinIa 
<-> 
A. x  e.  ~P  B ( x  e. 
Fin  \/  ( B  \  x )  e.  Fin ) ) )
5249, 51mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  ->  B  e. FinIa
)
5352ex 434 . . 3  |-  ( f : B -1-1-onto-> A  ->  ( A  e. FinIa  ->  B  e. FinIa ) )
5453exlimiv 1698 . 2  |-  ( E. f  f : B -1-1-onto-> A  ->  ( A  e. FinIa  ->  B  e. FinIa
) )
553, 54syl 16 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. FinIa  ->  B  e. FinIa ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   ran crn 5000   "cima 5002   Fun wfun 5580   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   -onto->wfo 5584   -1-1-onto->wf1o 5585    ~~ cen 7510   Fincfn 7513  FinIacfin1a 8654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-fin 7517  df-fin1a 8661
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