Theorem enfin1ai 8558

Description: Ia-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enfin1ai	|- ( A ~~ B -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )

Proof of Theorem enfin1ai

Dummy variables f x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 7363	. . 3 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
2		bren 7324	. . 3 |- ( B ~~ A <-> E. f f : B -1-1-onto-> A )
3	1, 2	sylib 196	. 2 |- ( A ~~ B -> E. f f : B -1-1-onto-> A )
4		elpwi 3874	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P B -> x C_ B )
5		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> A e. FinIa )
6		imassrn 5185	. . . . . . . . . 10 |- ( f " x ) C_ ran f
7		f1of 5646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> f : B --> A )
8	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> f : B --> A )
9		frn 5570	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : B --> A -> ran f C_ A )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ran f C_ A )
11	6, 10	syl5ss 3372	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " x ) C_ A )
12		fin1ai 8467	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. FinIa /\ ( f " x ) C_ A ) -> ( ( f " x ) e. Fin \/ ( A \ ( f " x ) ) e. Fin ) )
13	5, 11, 12	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( f " x ) e. Fin \/ ( A \ ( f " x ) ) e. Fin ) )
14		f1of1 5645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> f : B -1-1-> A )
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> f : B -1-1-> A )
16		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> x C_ B )
17		vex 2980	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> x e. _V )
19		f1imaeng 7374	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : B -1-1-> A /\ x C_ B /\ x e. _V ) -> ( f " x ) ~~ x )
20	15, 16, 18, 19	syl3anc 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " x ) ~~ x )
21		enfi 7534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f " x ) ~~ x -> ( ( f " x ) e. Fin <-> x e. Fin ) )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( f " x ) e. Fin <-> x e. Fin ) )
23		df-f1 5428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : B -1-1-> A <-> ( f : B --> A /\ Fun `' f ) )
24	23	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : B -1-1-> A -> Fun `' f )
25		imadif 5498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun `' f -> ( f " ( B \ x ) ) = ( ( f " B ) \ ( f " x ) ) )
26	15, 24, 25	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " ( B \ x ) ) = ( ( f " B ) \ ( f " x ) ) )
27		f1ofo 5653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> f : B -onto-> A )
28		foima 5630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : B -onto-> A -> ( f " B ) = A )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> ( f " B ) = A )
30	29	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " B ) = A )
31	30	difeq1d 3478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( f " B ) \ ( f " x ) ) = ( A \ ( f " x ) ) )
32	26, 31	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " ( B \ x ) ) = ( A \ ( f " x ) ) )
33		difssd 3489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( B \ x ) C_ B )
34		vex 2980	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- f e. _V
35	7	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> f : B --> A )
36		dmfex 6540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. _V /\ f : B --> A ) -> B e. _V )
37	34, 35, 36	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> B e. _V )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> B e. _V )
39		difexg 4445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. _V -> ( B \ x ) e. _V )
40	38, 39	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( B \ x ) e. _V )
41		f1imaeng 7374	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : B -1-1-> A /\ ( B \ x ) C_ B /\ ( B \ x ) e. _V ) -> ( f " ( B \ x ) ) ~~ ( B \ x ) )
42	15, 33, 40, 41	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " ( B \ x ) ) ~~ ( B \ x ) )
43	32, 42	eqbrtrrd 4319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( A \ ( f " x ) ) ~~ ( B \ x ) )
44		enfi 7534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ ( f " x ) ) ~~ ( B \ x ) -> ( ( A \ ( f " x ) ) e. Fin <-> ( B \ x ) e. Fin ) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( A \ ( f " x ) ) e. Fin <-> ( B \ x ) e. Fin ) )
46	22, 45	orbi12d 709	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( ( f " x ) e. Fin \/ ( A \ ( f " x ) ) e. Fin ) <-> ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) ) )
47	13, 46	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) )
48	4, 47	sylan2 474	. . . . . 6 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x e. ~P B ) -> ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) )
49	48	ralrimiva 2804	. . . . 5 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> A. x e. ~P B ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) )
50		isfin1a 8466	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( B e. FinIa <-> A. x e. ~P B ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) ) )
51	37, 50	syl 16	. . . . 5 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> ( B e. FinIa <-> A. x e. ~P B ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) ) )
52	49, 51	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> B e. FinIa )
53	52	ex 434	. . 3 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )
54	53	exlimiv 1688	. 2 |- ( E. f f : B -1-1-onto-> A -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )
55	3, 54	syl 16	1 |- ( A ~~ B -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   A.wral 2720   _Vcvv 2977   \ cdif 3330   C_ wss 3333   ~Pcpw 3865   class class class wbr 4297   `'ccnv 4844   ran crn 4846   "cima 4848   Fun wfun 5417   -->wf 5419   -1-1->wf1 5420   -onto->wfo 5421   -1-1-onto->wf1o 5422   ~~ cen 7312   Fincfn 7315  Fin^Iacfin1a 8452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-er 7106  df-en 7316  df-fin 7319  df-fin1a 8459

This theorem is referenced by: (None)