MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enfii Structured version   Unicode version

Theorem enfii 7634
Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfii  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem enfii
StepHypRef Expression
1 enfi 7633 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )
21biimparc 487 1  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4393    ~~ cen 7410   Fincfn 7413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-er 7204  df-en 7414  df-fin 7417
This theorem is referenced by:  domfi  7638  en1eqsn  7646  isfinite2  7674  xpfi  7687  fofinf1o  7696  cnvfi  7699  pwfi  7710  cantnfcl  7979  cantnfclOLD  8009  en2eqpr  8278  fzfi  11904  hasheni  12229  fz1isolem  12325  isercolllem2  13254  isercoll  13256  summolem2a  13303  summolem2  13304  zsum  13306  bitsf1  13753  isprm2lem  13881  orbsta2  15943  ovoliunlem1  21110  eupafi  23737  eulerpartlemgs2  26900  derangenlem  27196  erdsze2lem2  27229  prodmolem2a  27584  prodmolem2  27585  zprod  27587  heicant  28567  wlknfi  30512
  Copyright terms: Public domain W3C validator