MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enfii Structured version   Unicode version

Theorem enfii 7734
Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfii  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem enfii
StepHypRef Expression
1 enfi 7733 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )
21biimparc 487 1  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447    ~~ cen 7510   Fincfn 7513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-er 7308  df-en 7514  df-fin 7517
This theorem is referenced by:  domfi  7738  en1eqsn  7746  isfinite2  7774  xpfi  7787  fofinf1o  7797  cnvfi  7800  pwfi  7811  cantnfcl  8082  cantnfclOLD  8112  en2eqpr  8381  fzfi  12046  hasheni  12385  fz1isolem  12472  isercolllem2  13447  isercoll  13449  summolem2a  13496  summolem2  13497  zsum  13499  bitsf1  13951  isprm2lem  14079  orbsta2  16147  ovoliunlem1  21648  wlknfi  24415  eupafi  24647  eulerpartlemgs2  27959  derangenlem  28255  erdsze2lem2  28288  prodmolem2a  28643  prodmolem2  28644  zprod  28646  heicant  29626  f1dmvrnfibi  31781
  Copyright terms: Public domain W3C validator