Theorem enfi 7639

Description: Equinumerous sets have the same finiteness. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
enfi	|- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )

Proof of Theorem enfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enen1 7560	. . 3 |- ( A ~~ B -> ( A ~~ x <-> B ~~ x ) )
2	1	rexbidv 2864	. 2 |- ( A ~~ B -> ( E. x e. om A ~~ x <-> E. x e. om B ~~ x ) )
3		isfi 7442	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
4		isfi 7442	. 2 |- ( B e. Fin <-> E. x e. om B ~~ x )
5	2, 3, 4	3bitr4g 288	1 |- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   e. wcel 1758   E.wrex 2799   class class class wbr 4399   omcom 6585   ~~ cen 7416   Fincfn 7419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-er 7210  df-en 7420  df-fin 7423

This theorem is referenced by:  enfii  7640  wofib  7869  en2eleq  8285  sdom2en01  8581  fin23lem21  8618  enfin1ai  8663  fin17  8673  isfin7-2  8675  engch  8905  uzinf  11904  hasheni  12235  symggen  16094  psgnunilem1  16117  dfod2  16185  odhash  16193  gsumval3OLD  16502  gsumval3lem1  16503  gsumval3lem2  16504  gsumval3  16505  cyggic  18129  nbusgrafi  23508  cusgrafilem3  23540  eupai  23739  derangen  27203  erdsze2lem1  27234  diophin  29258  diophren  29299  fiphp3d  29305  fiuneneq  29709