Theorem enfi 7755

Description: Equinumerous sets have the same finiteness. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
enfi	|- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )

Proof of Theorem enfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enen1 7676	. . 3 |- ( A ~~ B -> ( A ~~ x <-> B ~~ x ) )
2	1	rexbidv 2968	. 2 |- ( A ~~ B -> ( E. x e. om A ~~ x <-> E. x e. om B ~~ x ) )
3		isfi 7558	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
4		isfi 7558	. 2 |- ( B e. Fin <-> E. x e. om B ~~ x )
5	2, 3, 4	3bitr4g 288	1 |- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   e. wcel 1819   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   omcom 6699   ~~ cen 7532   Fincfn 7535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539

This theorem is referenced by:  enfii  7756  wofib  7988  en2eleq  8403  sdom2en01  8699  fin23lem21  8736  enfin1ai  8781  fin17  8791  isfin7-2  8793  engch  9023  uzinf  12079  hasheni  12424  symggen  16622  psgnunilem1  16645  dfod2  16713  odhash  16721  gsumval3OLD  17035  gsumval3lem1  17036  gsumval3lem2  17037  gsumval3  17038  cyggic  18738  nbusgrafi  24575  cusgrafilem3  24608  eupai  25094  derangen  28813  erdsze2lem1  28844  diophin  30911  diophren  30951  fiphp3d  30957  fiuneneq  31358  rp-isfinite4  37902