Theorem enfi 7733

Description: Equinumerous sets have the same finiteness. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
enfi	|- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )

Proof of Theorem enfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enen1 7654	. . 3 |- ( A ~~ B -> ( A ~~ x <-> B ~~ x ) )
2	1	rexbidv 2973	. 2 |- ( A ~~ B -> ( E. x e. om A ~~ x <-> E. x e. om B ~~ x ) )
3		isfi 7536	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
4		isfi 7536	. 2 |- ( B e. Fin <-> E. x e. om B ~~ x )
5	2, 3, 4	3bitr4g 288	1 |- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   e. wcel 1767   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   omcom 6678   ~~ cen 7510   Fincfn 7513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-er 7308  df-en 7514  df-fin 7517

This theorem is referenced by:  enfii  7734  wofib  7966  en2eleq  8382  sdom2en01  8678  fin23lem21  8715  enfin1ai  8760  fin17  8770  isfin7-2  8772  engch  9002  uzinf  12040  hasheni  12385  symggen  16291  psgnunilem1  16314  dfod2  16382  odhash  16390  gsumval3OLD  16699  gsumval3lem1  16700  gsumval3lem2  16701  gsumval3  16702  cyggic  18378  nbusgrafi  24124  cusgrafilem3  24157  eupai  24643  derangen  28256  erdsze2lem1  28287  diophin  30310  diophren  30351  fiphp3d  30357  fiuneneq  30759