Theorem enfi 7521

Description: Equinumerous sets have the same finiteness. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
enfi	|- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )

Proof of Theorem enfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enen1 7443	. . 3 |- ( A ~~ B -> ( A ~~ x <-> B ~~ x ) )
2	1	rexbidv 2731	. 2 |- ( A ~~ B -> ( E. x e. om A ~~ x <-> E. x e. om B ~~ x ) )
3		isfi 7325	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
4		isfi 7325	. 2 |- ( B e. Fin <-> E. x e. om B ~~ x )
5	2, 3, 4	3bitr4g 288	1 |- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   e. wcel 1756   E.wrex 2711   class class class wbr 4287   omcom 6471   ~~ cen 7299   Fincfn 7302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-er 7093  df-en 7303  df-fin 7306

This theorem is referenced by:  enfii  7522  wofib  7751  en2eleq  8167  sdom2en01  8463  fin23lem21  8500  enfin1ai  8545  fin17  8555  isfin7-2  8557  engch  8787  uzinf  11780  hasheni  12111  symggen  15967  psgnunilem1  15990  dfod2  16056  odhash  16064  gsumval3OLD  16373  gsumval3lem1  16374  gsumval3lem2  16375  gsumval3  16376  cyggic  17985  nbusgrafi  23325  cusgrafilem3  23357  eupai  23556  derangen  27029  erdsze2lem1  27060  diophin  29082  diophren  29123  fiphp3d  29129  fiuneneq  29533