MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ener Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ener 7641
Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ener  |-  ~~  Er  _V

Proof of Theorem ener
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 7599 . . . 4  |-  Rel  ~~
21a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  Rel  ~~  )
3 bren 7603 . . . . 5  |-  ( x 
~~  y  <->  E. f 
f : x -1-1-onto-> y )
4 f1ocnv 5848 . . . . . . 7  |-  ( f : x -1-1-onto-> y  ->  `' f : y -1-1-onto-> x )
5 vex 3059 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
6 vex 3059 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
7 f1oen2g 7611 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V  /\  x  e.  _V  /\  `' f : y -1-1-onto-> x )  ->  y  ~~  x )
85, 6, 7mp3an12 1363 . . . . . . 7  |-  ( `' f : y -1-1-onto-> x  -> 
y  ~~  x )
94, 8syl 17 . . . . . 6  |-  ( f : x -1-1-onto-> y  ->  y  ~~  x )
109exlimiv 1786 . . . . 5  |-  ( E. f  f : x -1-1-onto-> y  ->  y  ~~  x
)
113, 10sylbi 200 . . . 4  |-  ( x 
~~  y  ->  y  ~~  x )
1211adantl 472 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  ~~  y )  ->  y  ~~  x )
13 bren 7603 . . . . 5  |-  ( x 
~~  y  <->  E. g 
g : x -1-1-onto-> y )
14 bren 7603 . . . . 5  |-  ( y 
~~  z  <->  E. f 
f : y -1-1-onto-> z )
15 eeanv 2088 . . . . . 6  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  <->  ( E. g  g : x -1-1-onto-> y  /\  E. f  f : y -1-1-onto-> z ) )
16 f1oco 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : y -1-1-onto-> z  /\  g : x -1-1-onto-> y )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z )
1716ancoms 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z )
18 vex 3059 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
19 f1oen2g 7611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  z  e.  _V  /\  (
f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z )
206, 18, 19mp3an12 1363 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z  ->  x  ~~  z )
2117, 20syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z )
2221exlimivv 1788 . . . . . 6  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z )
2315, 22sylbir 218 . . . . 5  |-  ( ( E. g  g : x -1-1-onto-> y  /\  E. f 
f : y -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z
)
2413, 14, 23syl2anb 486 . . . 4  |-  ( ( x  ~~  y  /\  y  ~~  z )  ->  x  ~~  z )
2524adantl 472 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x 
~~  y  /\  y  ~~  z ) )  ->  x  ~~  z )
266enref 7627 . . . . 5  |-  x  ~~  x
276, 262th 247 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  <->  x  ~~  x )
2827a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  _V  <->  x 
~~  x ) )
292, 12, 25, 28iserd 7414 . 2  |-  ( T. 
->  ~~  Er  _V )
3029trud 1463 1  |-  ~~  Er  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 375   T. wtru 1455   E.wex 1673    e. wcel 1897   _Vcvv 3056   class class class wbr 4415   `'ccnv 4851    o. ccom 4856   Rel wrel 4857   -1-1-onto->wf1o 5599    Er wer 7385    ~~ cen 7591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-er 7388  df-en 7595
This theorem is referenced by:  ensymb  7642  entr  7646
  Copyright terms: Public domain W3C validator