Theorem ener 5469

Description: Equinumerosity is an equivalence relation.

Assertion

Ref	Expression
ener	|- Er ~~

Proof of Theorem ener

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 2295	. . . 4 |- y e. _V
2	1	bren 5436	. . 3 |- (x ~~ y <-> E.f f:x-1-1-onto->y)
3		f1ocnv 4651	. . . . 5 |- (f:x-1-1-onto->y -> `'f:y-1-1-onto->x)
4	1	f1oen 5457	. . . . 5 |- (`'f:y-1-1-onto->x -> y ~~ x)
5	3, 4	syl 12	. . . 4 |- (f:x-1-1-onto->y -> y ~~ x)
6	5	19.23aiv 1674	. . 3 |- (E.f f:x-1-1-onto->y -> y ~~ x)
7	2, 6	sylbi 216	. 2 |- (x ~~ y -> y ~~ x)
8		eeanv 1707	. . . 4 |- (E.gE.f(g:x-1-1-onto->y /\ f:y-1-1-onto->z) <-> (E.g g:x-1-1-onto->y /\ E.f f:y-1-1-onto->z))
9		f1oco 4661	. . . . . . 7 |- ((f:y-1-1-onto->z /\ g:x-1-1-onto->y) -> (f o. g):x-1-1-onto->z)
10	9	ancoms 484	. . . . . 6 |- ((g:x-1-1-onto->y /\ f:y-1-1-onto->z) -> (f o. g):x-1-1-onto->z)
11		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
12	11	f1oen 5457	. . . . . 6 |- ((f o. g):x-1-1-onto->z -> x ~~ z)
13	10, 12	syl 12	. . . . 5 |- ((g:x-1-1-onto->y /\ f:y-1-1-onto->z) -> x ~~ z)
14	13	19.23aivv 1675	. . . 4 |- (E.gE.f(g:x-1-1-onto->y /\ f:y-1-1-onto->z) -> x ~~ z)
15	8, 14	sylbir 218	. . 3 |- ((E.g g:x-1-1-onto->y /\ E.f f:y-1-1-onto->z) -> x ~~ z)
16	1	bren 5436	. . 3 |- (x ~~ y <-> E.g g:x-1-1-onto->y)
17		visset 2295	. . . 4 |- z e. _V
18	17	bren 5436	. . 3 |- (y ~~ z <-> E.f f:y-1-1-onto->z)
19	15, 16, 18	syl2anb 504	. 2 |- ((x ~~ y /\ y ~~ z) -> x ~~ z)
20	7, 19	ster 5325	1 |- Er ~~

Syntax hints:   /\ wa 240  E.wex 1326   class class class wbr 3338  `'ccnv 3985   o. ccom 3990  -1-1-onto->wf1o 3997  Er wer 5315   ~~ cen 5423

This theorem is referenced by:  ensymg 5470  entr 5473

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-er 5318  df-en 5427

Copyright terms: Public domain