MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  endomtr Structured version   Unicode version

Theorem endomtr 7571
Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
endomtr  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )

Proof of Theorem endomtr
StepHypRef Expression
1 endom 7540 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  A  ~<_  B )
2 domtr 7566 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
31, 2sylan 471 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   class class class wbr 4433    ~~ cen 7511    ~<_ cdom 7512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-f1o 5581  df-en 7515  df-dom 7516
This theorem is referenced by:  undom  7603  xpdom1g  7612  xpdom3  7613  domunsncan  7615  domsdomtr  7650  domen1  7657  mapdom1  7680  mapdom2  7686  mapdom3  7687  php  7699  onomeneq  7705  sucdom2  7712  hartogslem1  7965  harcard  8357  infxpenlem  8389  infpwfien  8441  alephsucdom  8458  mappwen  8491  dfac12lem2  8522  cdalepw  8574  fictb  8623  cfflb  8637  canthp1lem1  9028  pwfseqlem5  9039  pwxpndom2  9041  pwcdandom  9043  gchxpidm  9045  gchhar  9055  tskinf  9145  inar1  9151  gruina  9194  xpnnenOLD  13815  rexpen  13833  mreexdomd  14918  hauspwdom  19868  rectbntr0  21203  rabfodom  27269  snct  27399  cnvct  27403  dya2iocct  28117  finminlem  30104  heiborlem3  30277  pellexlem4  30736  pellexlem5  30737
  Copyright terms: Public domain W3C validator