MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  endomtr Structured version   Unicode version

Theorem endomtr 7573
Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
endomtr  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )

Proof of Theorem endomtr
StepHypRef Expression
1 endom 7542 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  A  ~<_  B )
2 domtr 7568 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
31, 2sylan 471 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   class class class wbr 4447    ~~ cen 7513    ~<_ cdom 7514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-f1o 5594  df-en 7517  df-dom 7518
This theorem is referenced by:  undom  7605  xpdom1g  7614  xpdom3  7615  domunsncan  7617  domsdomtr  7652  domen1  7659  mapdom1  7682  mapdom2  7688  mapdom3  7689  php  7701  onomeneq  7707  sucdom2  7714  hartogslem1  7966  harcard  8358  infxpenlem  8390  infpwfien  8442  alephsucdom  8459  mappwen  8492  dfac12lem2  8523  cdalepw  8575  fictb  8624  cfflb  8638  canthp1lem1  9029  pwfseqlem5  9040  pwxpndom2  9042  pwcdandom  9044  gchxpidm  9046  gchhar  9056  tskinf  9146  inar1  9152  gruina  9195  xpnnenOLD  13803  rexpen  13821  mreexdomd  14903  hauspwdom  19784  rectbntr0  21088  snct  27222  cnvct  27226  dya2iocct  27907  finminlem  29729  heiborlem3  29928  pellexlem4  30388  pellexlem5  30389
  Copyright terms: Public domain W3C validator