Theorem endomtr 5479

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance.

Assertion

Ref	Expression
endomtr	|- ((A ~~ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtr 5474	. 2 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)
2		endom 5444	. 2 |- (A ~~ B -> A ~<_ B)
3	1, 2	sylan 497	1 |- ((A ~~ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   class class class wbr 3338   ~~ cen 5423   ~<_ cdom 5424

This theorem is referenced by:  undom 5497  xpdom1 5502  xpdom3 5504  ensdomtr 5534  domsdomtr 5539  domen1 5542  mapdom1 5586  mapdom2 5588  php 5607  onomeneq 5612  0sdom1dom 5618  isfinite1 5624  omsublim 5887  carddomi 5986  cdadom2 6084  xpnnen 8768  infxpidmlem1 8821  infdif 8837  finminlem 15367  omsublimOLD 15396

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-en 5427  df-dom 5428

Copyright terms: Public domain