MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  endom Unicode version

Theorem endom 6774
Description: Equinumerosity implies dominance. Theorem 15 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 28-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
endom  |-  ( A 
~~  B  ->  A  ~<_  B )

Proof of Theorem endom
StepHypRef Expression
1 enssdom 6772 . 2  |-  ~~  C_  ~<_
21ssbri 3962 1  |-  ( A 
~~  B  ->  A  ~<_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6   class class class wbr 3920    ~~ cen 6746    ~<_ cdom 6747
This theorem is referenced by:  bren2  6778  domrefg  6782  endomtr  6804  domentr  6805  domunsncan  6847  sbthb  6867  sdomentr  6880  ensdomtr  6882  domtriord  6892  domunsn  6896  xpen  6909  unxpdom2  6956  sucxpdom  6957  wdomen1  7174  wdomen2  7175  fidomtri2  7511  prdom2  7520  acnen  7564  acnen2  7566  alephdom  7592  alephinit  7606  uncdadom  7681  pwcdadom  7726  fin1a2lem11  7920  hsmexlem1  7936  gchdomtri  8131  gchcdaidm  8170  gchxpidm  8171  gchhar  8173  gchpwdom  8176  gruina  8320  odinf  14711  hauspwdom  17059  ufildom1  17453  iscmet3  18551  ovolctb2  18683  mbfaddlem  18847  heiborlem3  25703
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-br 3921  df-opab 3975  df-xp 4594  df-rel 4595  df-f1o 4607  df-en 6750  df-dom 6751
  Copyright terms: Public domain W3C validator