MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en4 Structured version   Unicode version

Theorem en4 7747
Description: A set equinumerous to ordinal 4 is a quadruple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Assertion
Ref Expression
en4  |-  ( A 
~~  4o  ->  E. x E. y E. z E. w  A  =  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w } ) )
Distinct variable group:    x, w, y, z, A

Proof of Theorem en4
StepHypRef Expression
1 3onn 7280 . 2  |-  3o  e.  om
2 df-4o 7123 . 2  |-  4o  =  suc  3o
3 en3 7746 . 2  |-  ( ( A  \  { x } )  ~~  3o  ->  E. y E. z E. w ( A  \  { x } )  =  { y ,  z ,  w }
)
4 qdassr 4120 . . . . 5  |-  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w } )  =  ( { x }  u.  { y ,  z ,  w } )
54enp1ilem 7743 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A  \  {
x } )  =  { y ,  z ,  w }  ->  A  =  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w }
) ) )
65eximdv 1681 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. w ( A  \  { x } )  =  { y ,  z ,  w }  ->  E. w  A  =  ( { x ,  y }  u.  {
z ,  w }
) ) )
762eximdv 1683 . 2  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y E. z E. w ( A  \  { x } )  =  { y ,  z ,  w }  ->  E. y E. z E. w  A  =  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w } ) ) )
81, 2, 3, 7enp1i 7744 1  |-  ( A 
~~  4o  ->  E. x E. y E. z E. w  A  =  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762    \ cdif 3466    u. cun 3467   {csn 4020   {cpr 4022   {ctp 4024   class class class wbr 4440   3oc3o 7115   4oc4o 7116    ~~ cen 7503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-om 6672  df-1o 7120  df-2o 7121  df-3o 7122  df-4o 7123  df-er 7301  df-en 7507  df-fin 7510
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator