MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en4 Structured version   Unicode version

Theorem en4 7791
Description: A set equinumerous to ordinal 4 is a quadruple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Assertion
Ref Expression
en4  |-  ( A 
~~  4o  ->  E. x E. y E. z E. w  A  =  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w } ) )
Distinct variable group:    x, w, y, z, A

Proof of Theorem en4
StepHypRef Expression
1 3onn 7326 . 2  |-  3o  e.  om
2 df-4o 7169 . 2  |-  4o  =  suc  3o
3 en3 7790 . 2  |-  ( ( A  \  { x } )  ~~  3o  ->  E. y E. z E. w ( A  \  { x } )  =  { y ,  z ,  w }
)
4 qdassr 4071 . . . . 5  |-  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w } )  =  ( { x }  u.  { y ,  z ,  w } )
54enp1ilem 7787 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A  \  {
x } )  =  { y ,  z ,  w }  ->  A  =  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w }
) ) )
65eximdv 1731 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. w ( A  \  { x } )  =  { y ,  z ,  w }  ->  E. w  A  =  ( { x ,  y }  u.  {
z ,  w }
) ) )
762eximdv 1733 . 2  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y E. z E. w ( A  \  { x } )  =  { y ,  z ,  w }  ->  E. y E. z E. w  A  =  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w } ) ) )
81, 2, 3, 7enp1i 7788 1  |-  ( A 
~~  4o  ->  E. x E. y E. z E. w  A  =  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842    \ cdif 3410    u. cun 3411   {csn 3971   {cpr 3973   {ctp 3975   class class class wbr 4394   3oc3o 7161   4oc4o 7162    ~~ cen 7550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-om 6683  df-1o 7166  df-2o 7167  df-3o 7168  df-4o 7169  df-er 7347  df-en 7554  df-fin 7557
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator