MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en4 Structured version   Unicode version

Theorem en4 7818
Description: A set equinumerous to ordinal 4 is a quadruple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Assertion
Ref Expression
en4  |-  ( A 
~~  4o  ->  E. x E. y E. z E. w  A  =  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w } ) )
Distinct variable group:    x, w, y, z, A

Proof of Theorem en4
StepHypRef Expression
1 3onn 7353 . 2  |-  3o  e.  om
2 df-4o 7196 . 2  |-  4o  =  suc  3o
3 en3 7817 . 2  |-  ( ( A  \  { x } )  ~~  3o  ->  E. y E. z E. w ( A  \  { x } )  =  { y ,  z ,  w }
)
4 qdassr 4100 . . . . 5  |-  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w } )  =  ( { x }  u.  { y ,  z ,  w } )
54enp1ilem 7814 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A  \  {
x } )  =  { y ,  z ,  w }  ->  A  =  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w }
) ) )
65eximdv 1758 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. w ( A  \  { x } )  =  { y ,  z ,  w }  ->  E. w  A  =  ( { x ,  y }  u.  {
z ,  w }
) ) )
762eximdv 1760 . 2  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y E. z E. w ( A  \  { x } )  =  { y ,  z ,  w }  ->  E. y E. z E. w  A  =  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w } ) ) )
81, 2, 3, 7enp1i 7815 1  |-  ( A 
~~  4o  ->  E. x E. y E. z E. w  A  =  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    \ cdif 3433    u. cun 3434   {csn 3998   {cpr 4000   {ctp 4002   class class class wbr 4423   3oc3o 7188   4oc4o 7189    ~~ cen 7577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6707  df-1o 7193  df-2o 7194  df-3o 7195  df-4o 7196  df-er 7374  df-en 7581  df-fin 7584
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator