Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  en3lplem2VD Structured version   Unicode version

Theorem en3lplem2VD 31883
Description: Virtual deduction proof of en3lplem2 7925. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
en3lplem2VD  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->  ( x  e.  { A ,  B ,  C }  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y

Proof of Theorem en3lplem2VD
StepHypRef Expression
1 idn1 31590 . . . . . . 7  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->.  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ).
2 idn3 31640 . . . . . . 7  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C } ,. x  =  A  ->.  x  =  A ).
3 en3lplem1VD 31882 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->  ( x  =  A  ->  E. y ( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x
) ) )
41, 2, 3e13 31784 . . . . . 6  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C } ,. x  =  A  ->.  E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ).
54in3 31634 . . . . 5  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C }  ->.  ( x  =  A  ->  E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) ).
6 3anrot 970 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  <->  ( B  e.  C  /\  C  e.  A  /\  A  e.  B )
)
71, 6e1bi 31654 . . . . . . . 8  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->.  ( B  e.  C  /\  C  e.  A  /\  A  e.  B ) ).
8 idn3 31640 . . . . . . . 8  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C } ,. x  =  B  ->.  x  =  B ).
9 en3lplem1VD 31882 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  C  /\  C  e.  A  /\  A  e.  B )  ->  ( x  =  B  ->  E. y ( y  e.  { B ,  C ,  A }  /\  y  e.  x
) ) )
107, 8, 9e13 31784 . . . . . . 7  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C } ,. x  =  B  ->.  E. y ( y  e. 
{ B ,  C ,  A }  /\  y  e.  x ) ).
11 tprot 4071 . . . . . . . . . 10  |-  { A ,  B ,  C }  =  { B ,  C ,  A }
1211eleq2i 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { A ,  B ,  C }  <->  y  e.  { B ,  C ,  A }
)
1312anbi1i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x
)  <->  ( y  e. 
{ B ,  C ,  A }  /\  y  e.  x ) )
1413exbii 1635 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x )  <->  E. y
( y  e.  { B ,  C ,  A }  /\  y  e.  x ) )
1510, 14e3bir 31775 . . . . . 6  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C } ,. x  =  B  ->.  E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ).
1615in3 31634 . . . . 5  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C }  ->.  ( x  =  B  ->  E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) ).
17 jao 512 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  ->  E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) )  -> 
( ( x  =  B  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) )  -> 
( ( x  =  A  \/  x  =  B )  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) ) )
185, 16, 17e22 31696 . . . 4  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C }  ->.  ( ( x  =  A  \/  x  =  B )  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) ).
19 3anrot 970 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  A  /\  A  e.  B  /\  B  e.  C )  <->  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )
)
201, 19e1bir 31655 . . . . . . 7  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->.  ( C  e.  A  /\  A  e.  B  /\  B  e.  C ) ).
21 idn3 31640 . . . . . . 7  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C } ,. x  =  C  ->.  x  =  C ).
22 en3lplem1VD 31882 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  A  /\  A  e.  B  /\  B  e.  C )  ->  ( x  =  C  ->  E. y ( y  e.  { C ,  A ,  B }  /\  y  e.  x
) ) )
2320, 21, 22e13 31784 . . . . . 6  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C } ,. x  =  C  ->.  E. y ( y  e. 
{ C ,  A ,  B }  /\  y  e.  x ) ).
24 tprot 4071 . . . . . . . . 9  |-  { C ,  A ,  B }  =  { A ,  B ,  C }
2524eleq2i 2529 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { C ,  A ,  B }  <->  y  e.  { A ,  B ,  C }
)
2625anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { C ,  A ,  B }  /\  y  e.  x
)  <->  ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) )
2726exbii 1635 . . . . . 6  |-  ( E. y ( y  e. 
{ C ,  A ,  B }  /\  y  e.  x )  <->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) )
2823, 27e3bi 31774 . . . . 5  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C } ,. x  =  C  ->.  E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ).
2928in3 31634 . . . 4  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C }  ->.  ( x  =  C  ->  E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) ).
30 idn2 31638 . . . . . . 7  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C }  ->.  x  e.  { A ,  B ,  C } ).
31 dftp2 4023 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B ,  C }  =  { x  |  ( x  =  A  \/  x  =  B  \/  x  =  C ) }
3231eleq2i 2529 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { A ,  B ,  C }  <->  x  e.  { x  |  ( x  =  A  \/  x  =  B  \/  x  =  C ) } )
3330, 32e2bi 31657 . . . . . 6  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C }  ->.  x  e.  { x  |  ( x  =  A  \/  x  =  B  \/  x  =  C ) } ).
34 abid 2438 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  |  ( x  =  A  \/  x  =  B  \/  x  =  C ) }  <->  ( x  =  A  \/  x  =  B  \/  x  =  C ) )
3533, 34e2bi 31657 . . . . 5  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C }  ->.  ( x  =  A  \/  x  =  B  \/  x  =  C ) ).
36 df-3or 966 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  \/  x  =  B  \/  x  =  C )  <->  ( ( x  =  A  \/  x  =  B )  \/  x  =  C ) )
3735, 36e2bi 31657 . . . 4  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C }  ->.  ( ( x  =  A  \/  x  =  B )  \/  x  =  C ) ).
38 jao 512 . . . 4  |-  ( ( ( x  =  A  \/  x  =  B )  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) )  -> 
( ( x  =  C  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) )  -> 
( ( ( x  =  A  \/  x  =  B )  \/  x  =  C )  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) ) )
3918, 29, 37, 38e222 31661 . . 3  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C }  ->.  E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ).
4039in2 31630 . 2  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->.  ( x  e.  { A ,  B ,  C }  ->  E. y ( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x
) ) ).
4140in1 31587 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->  ( x  e.  { A ,  B ,  C }  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   {cab 2436   {ctp 3982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-v 3073  df-un 3434  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-vd1 31586  df-vd2 31594  df-vd3 31606
This theorem is referenced by:  en3lpVD  31884
  Copyright terms: Public domain W3C validator