Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  en3lplem2VD Structured version   Unicode version

Theorem en3lplem2VD 37107
Description: Virtual deduction proof of en3lplem2 8124. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
en3lplem2VD  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->  ( x  e.  { A ,  B ,  C }  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y

Proof of Theorem en3lplem2VD
StepHypRef Expression
1 idn1 36809 . . . . . . 7  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->.  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ).
2 idn3 36859 . . . . . . 7  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C } ,. x  =  A  ->.  x  =  A ).
3 en3lplem1VD 37106 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->  ( x  =  A  ->  E. y ( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x
) ) )
41, 2, 3e13 37002 . . . . . 6  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C } ,. x  =  A  ->.  E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ).
54in3 36853 . . . . 5  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C }  ->.  ( x  =  A  ->  E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) ).
6 3anrot 988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  <->  ( B  e.  C  /\  C  e.  A  /\  A  e.  B )
)
71, 6e1bi 36873 . . . . . . . 8  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->.  ( B  e.  C  /\  C  e.  A  /\  A  e.  B ) ).
8 idn3 36859 . . . . . . . 8  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C } ,. x  =  B  ->.  x  =  B ).
9 en3lplem1VD 37106 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  C  /\  C  e.  A  /\  A  e.  B )  ->  ( x  =  B  ->  E. y ( y  e.  { B ,  C ,  A }  /\  y  e.  x
) ) )
107, 8, 9e13 37002 . . . . . . 7  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C } ,. x  =  B  ->.  E. y ( y  e. 
{ B ,  C ,  A }  /\  y  e.  x ) ).
11 tprot 4093 . . . . . . . . . 10  |-  { A ,  B ,  C }  =  { B ,  C ,  A }
1211eleq2i 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { A ,  B ,  C }  <->  y  e.  { B ,  C ,  A }
)
1312anbi1i 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x
)  <->  ( y  e. 
{ B ,  C ,  A }  /\  y  e.  x ) )
1413exbii 1713 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x )  <->  E. y
( y  e.  { B ,  C ,  A }  /\  y  e.  x ) )
1510, 14e3bir 36993 . . . . . 6  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C } ,. x  =  B  ->.  E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ).
1615in3 36853 . . . . 5  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C }  ->.  ( x  =  B  ->  E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) ).
17 jao 515 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  ->  E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) )  -> 
( ( x  =  B  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) )  -> 
( ( x  =  A  \/  x  =  B )  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) ) )
185, 16, 17e22 36915 . . . 4  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C }  ->.  ( ( x  =  A  \/  x  =  B )  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) ).
19 3anrot 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  A  /\  A  e.  B  /\  B  e.  C )  <->  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )
)
201, 19e1bir 36874 . . . . . . 7  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->.  ( C  e.  A  /\  A  e.  B  /\  B  e.  C ) ).
21 idn3 36859 . . . . . . 7  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C } ,. x  =  C  ->.  x  =  C ).
22 en3lplem1VD 37106 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  A  /\  A  e.  B  /\  B  e.  C )  ->  ( x  =  C  ->  E. y ( y  e.  { C ,  A ,  B }  /\  y  e.  x
) ) )
2320, 21, 22e13 37002 . . . . . 6  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C } ,. x  =  C  ->.  E. y ( y  e. 
{ C ,  A ,  B }  /\  y  e.  x ) ).
24 tprot 4093 . . . . . . . . 9  |-  { C ,  A ,  B }  =  { A ,  B ,  C }
2524eleq2i 2501 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { C ,  A ,  B }  <->  y  e.  { A ,  B ,  C }
)
2625anbi1i 700 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { C ,  A ,  B }  /\  y  e.  x
)  <->  ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) )
2726exbii 1713 . . . . . 6  |-  ( E. y ( y  e. 
{ C ,  A ,  B }  /\  y  e.  x )  <->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) )
2823, 27e3bi 36992 . . . . 5  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C } ,. x  =  C  ->.  E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ).
2928in3 36853 . . . 4  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C }  ->.  ( x  =  C  ->  E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) ).
30 idn2 36857 . . . . . . 7  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C }  ->.  x  e.  { A ,  B ,  C } ).
31 dftp2 4044 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B ,  C }  =  { x  |  ( x  =  A  \/  x  =  B  \/  x  =  C ) }
3231eleq2i 2501 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { A ,  B ,  C }  <->  x  e.  { x  |  ( x  =  A  \/  x  =  B  \/  x  =  C ) } )
3330, 32e2bi 36876 . . . . . 6  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C }  ->.  x  e.  { x  |  ( x  =  A  \/  x  =  B  \/  x  =  C ) } ).
34 abid 2410 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  |  ( x  =  A  \/  x  =  B  \/  x  =  C ) }  <->  ( x  =  A  \/  x  =  B  \/  x  =  C ) )
3533, 34e2bi 36876 . . . . 5  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C }  ->.  ( x  =  A  \/  x  =  B  \/  x  =  C ) ).
36 df-3or 984 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  \/  x  =  B  \/  x  =  C )  <->  ( ( x  =  A  \/  x  =  B )  \/  x  =  C ) )
3735, 36e2bi 36876 . . . 4  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C }  ->.  ( ( x  =  A  \/  x  =  B )  \/  x  =  C ) ).
38 jao 515 . . . 4  |-  ( ( ( x  =  A  \/  x  =  B )  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) )  -> 
( ( x  =  C  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) )  -> 
( ( ( x  =  A  \/  x  =  B )  \/  x  =  C )  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) ) )
3918, 29, 37, 38e222 36880 . . 3  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ,. x  e.  { A ,  B ,  C }  ->.  E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ).
4039in2 36849 . 2  |-  (. ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->.  ( x  e.  { A ,  B ,  C }  ->  E. y ( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x
) ) ).
4140in1 36806 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->  ( x  e.  { A ,  B ,  C }  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    \/ w3o 982    /\ w3a 983    = wceq 1438   E.wex 1660    e. wcel 1869   {cab 2408   {ctp 4001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-v 3084  df-un 3442  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-vd1 36805  df-vd2 36813  df-vd3 36825
This theorem is referenced by:  en3lpVD  37108
  Copyright terms: Public domain W3C validator