Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  en3lpVD Structured version   Unicode version

Theorem en3lpVD 31894
Description: Virtual deduction proof of en3lp 7928. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
en3lpVD  |-  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )

Proof of Theorem en3lpVD
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2.1 417 . . 3  |-  ( -. 
{ A ,  B ,  C }  =  (/)  \/ 
{ A ,  B ,  C }  =  (/) )
2 df-ne 2647 . . . . 5  |-  ( { A ,  B ,  C }  =/=  (/)  <->  -.  { A ,  B ,  C }  =  (/) )
32bicomi 202 . . . 4  |-  ( -. 
{ A ,  B ,  C }  =  (/)  <->  { A ,  B ,  C }  =/=  (/) )
43orbi1i 520 . . 3  |-  ( ( -.  { A ,  B ,  C }  =  (/)  \/  { A ,  B ,  C }  =  (/) )  <->  ( { A ,  B ,  C }  =/=  (/)  \/  { A ,  B ,  C }  =  (/) ) )
51, 4mpbi 208 . 2  |-  ( { A ,  B ,  C }  =/=  (/)  \/  { A ,  B ,  C }  =  (/) )
6 zfregs2 8059 . . . 4  |-  ( { A ,  B ,  C }  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  { A ,  B ,  C } E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) )
7 en3lplem2VD 31893 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->  ( x  e.  { A ,  B ,  C }  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) )
87alrimiv 1686 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->  A. x ( x  e.  { A ,  B ,  C }  ->  E. y ( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x
) ) )
9 df-ral 2801 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  { A ,  B ,  C } E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x )  <->  A. x
( x  e.  { A ,  B ,  C }  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) )
108, 9sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->  A. x  e.  { A ,  B ,  C } E. y ( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x
) )
1110con3i 135 . . . 4  |-  ( -. 
A. x  e.  { A ,  B ,  C } E. y ( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x
)  ->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )
)
126, 11syl 16 . . 3  |-  ( { A ,  B ,  C }  =/=  (/)  ->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A
) )
13 idn1 31600 . . . . . . 7  |-  (. { A ,  B ,  C }  =  (/)  ->.  { A ,  B ,  C }  =  (/) ).
14 noel 3744 . . . . . . 7  |-  -.  C  e.  (/)
15 eleq2 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B ,  C }  =  (/)  ->  ( C  e.  { A ,  B ,  C }  <->  C  e.  (/) ) )
1615notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  B ,  C }  =  (/)  ->  ( -.  C  e.  { A ,  B ,  C }  <->  -.  C  e.  (/) ) )
1716biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B ,  C }  =  (/)  ->  ( -.  C  e.  (/)  ->  -.  C  e.  { A ,  B ,  C }
) )
1813, 14, 17e10 31729 . . . . . 6  |-  (. { A ,  B ,  C }  =  (/)  ->.  -.  C  e.  { A ,  B ,  C } ).
19 tpid3g 4093 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  A  ->  C  e.  { A ,  B ,  C } )
2019con3i 135 . . . . . 6  |-  ( -.  C  e.  { A ,  B ,  C }  ->  -.  C  e.  A
)
2118, 20e1a 31662 . . . . 5  |-  (. { A ,  B ,  C }  =  (/)  ->.  -.  C  e.  A ).
22 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->  C  e.  A )
2322con3i 135 . . . . 5  |-  ( -.  C  e.  A  ->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A
) )
2421, 23e1a 31662 . . . 4  |-  (. { A ,  B ,  C }  =  (/)  ->.  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ).
2524in1 31597 . . 3  |-  ( { A ,  B ,  C }  =  (/)  ->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A
) )
2612, 25jaoi 379 . 2  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  =/=  (/)  \/  { A ,  B ,  C }  =  (/) )  ->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A
) )
275, 26ax-mp 5 1  |-  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1368    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2645   A.wral 2796   (/)c0 3740   {ctp 3984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-reg 7913  ax-inf2 7953
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-vd1 31596  df-vd2 31604  df-vd3 31616
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator