Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  en3lpVD Structured version   Unicode version

Theorem en3lpVD 32725
Description: Virtual deduction proof of en3lp 8029. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
en3lpVD  |-  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )

Proof of Theorem en3lpVD
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2.1 417 . . 3  |-  ( -. 
{ A ,  B ,  C }  =  (/)  \/ 
{ A ,  B ,  C }  =  (/) )
2 df-ne 2664 . . . . 5  |-  ( { A ,  B ,  C }  =/=  (/)  <->  -.  { A ,  B ,  C }  =  (/) )
32bicomi 202 . . . 4  |-  ( -. 
{ A ,  B ,  C }  =  (/)  <->  { A ,  B ,  C }  =/=  (/) )
43orbi1i 520 . . 3  |-  ( ( -.  { A ,  B ,  C }  =  (/)  \/  { A ,  B ,  C }  =  (/) )  <->  ( { A ,  B ,  C }  =/=  (/)  \/  { A ,  B ,  C }  =  (/) ) )
51, 4mpbi 208 . 2  |-  ( { A ,  B ,  C }  =/=  (/)  \/  { A ,  B ,  C }  =  (/) )
6 zfregs2 8160 . . . 4  |-  ( { A ,  B ,  C }  =/=  (/)  ->  -.  A. x  e.  { A ,  B ,  C } E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) )
7 en3lplem2VD 32724 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->  ( x  e.  { A ,  B ,  C }  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) )
87alrimiv 1695 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->  A. x ( x  e.  { A ,  B ,  C }  ->  E. y ( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x
) ) )
9 df-ral 2819 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  { A ,  B ,  C } E. y ( y  e. 
{ A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x )  <->  A. x
( x  e.  { A ,  B ,  C }  ->  E. y
( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x ) ) )
108, 9sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->  A. x  e.  { A ,  B ,  C } E. y ( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x
) )
1110con3i 135 . . . 4  |-  ( -. 
A. x  e.  { A ,  B ,  C } E. y ( y  e.  { A ,  B ,  C }  /\  y  e.  x
)  ->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )
)
126, 11syl 16 . . 3  |-  ( { A ,  B ,  C }  =/=  (/)  ->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A
) )
13 idn1 32431 . . . . . . 7  |-  (. { A ,  B ,  C }  =  (/)  ->.  { A ,  B ,  C }  =  (/) ).
14 noel 3789 . . . . . . 7  |-  -.  C  e.  (/)
15 eleq2 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B ,  C }  =  (/)  ->  ( C  e.  { A ,  B ,  C }  <->  C  e.  (/) ) )
1615notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  B ,  C }  =  (/)  ->  ( -.  C  e.  { A ,  B ,  C }  <->  -.  C  e.  (/) ) )
1716biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B ,  C }  =  (/)  ->  ( -.  C  e.  (/)  ->  -.  C  e.  { A ,  B ,  C }
) )
1813, 14, 17e10 32560 . . . . . 6  |-  (. { A ,  B ,  C }  =  (/)  ->.  -.  C  e.  { A ,  B ,  C } ).
19 tpid3g 4142 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  A  ->  C  e.  { A ,  B ,  C } )
2019con3i 135 . . . . . 6  |-  ( -.  C  e.  { A ,  B ,  C }  ->  -.  C  e.  A
)
2118, 20e1a 32493 . . . . 5  |-  (. { A ,  B ,  C }  =  (/)  ->.  -.  C  e.  A ).
22 simp3 998 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )  ->  C  e.  A )
2322con3i 135 . . . . 5  |-  ( -.  C  e.  A  ->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A
) )
2421, 23e1a 32493 . . . 4  |-  (. { A ,  B ,  C }  =  (/)  ->.  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A ) ).
2524in1 32428 . . 3  |-  ( { A ,  B ,  C }  =  (/)  ->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A
) )
2612, 25jaoi 379 . 2  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  =/=  (/)  \/  { A ,  B ,  C }  =  (/) )  ->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A
) )
275, 26ax-mp 5 1  |-  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  C  /\  C  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   (/)c0 3785   {ctp 4031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-reg 8014  ax-inf2 8054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-vd1 32427  df-vd2 32435  df-vd3 32447
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator