Theorem en3lpVD 16669

Description: Virtual deduction proof of en3lp 5758.

Assertion

Ref	Expression
en3lpVD	|- -. (A e. B /\ B e. C /\ C e. A)

Proof of Theorem en3lpVD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.1 718	. . 3 |- (-. {A, B, C} = (/) \/ {A, B, C} = (/))
2		df-ne 2019	. . . . 5 |- ({A, B, C} =/= (/) <-> -. {A, B, C} = (/))
3	2	bicomi 189	. . . 4 |- (-. {A, B, C} = (/) <-> {A, B, C} =/= (/))
4	3	orbi1i 276	. . 3 |- ((-. {A, B, C} = (/) \/ {A, B, C} = (/)) <-> ({A, B, C} =/= (/) \/ {A, B, C} = (/)))
5	1, 4	mpbi 206	. 2 |- ({A, B, C} =/= (/) \/ {A, B, C} = (/))
6		zfregs2 5755	. . . 4 |- ({A, B, C} =/= (/) -> -. A.x e. {A, B, C}E.y(y e. {A, B, C} /\ y e. x))
7		en3lplem2 5757	. . . . . . 7 |- ((A e. B /\ B e. C /\ C e. A) -> (x e. {A, B, C} -> E.y(y e. {A, B, C} /\ y e. x)))
8	7	19.21aiv 1664	. . . . . 6 |- ((A e. B /\ B e. C /\ C e. A) -> A.x(x e. {A, B, C} -> E.y(y e. {A, B, C} /\ y e. x)))
9		df-ral 2109	. . . . . 6 |- (A.x e. {A, B, C}E.y(y e. {A, B, C} /\ y e. x) <-> A.x(x e. {A, B, C} -> E.y(y e. {A, B, C} /\ y e. x)))
10	8, 9	sylibr 217	. . . . 5 |- ((A e. B /\ B e. C /\ C e. A) -> A.x e. {A, B, C}E.y(y e. {A, B, C} /\ y e. x))
11	10	con3i 114	. . . 4 |- (-. A.x e. {A, B, C}E.y(y e. {A, B, C} /\ y e. x) -> -. (A e. B /\ B e. C /\ C e. A))
12	6, 11	syl 12	. . 3 |- ({A, B, C} =/= (/) -> -. (A e. B /\ B e. C /\ C e. A))
13		idn1 16484	. . . . . . 7 |- . {A, B, C} = (/)   ⊢   {A, B, C} = (/) .
14		noel 2879	. . . . . . 7 |- -. C e. (/)
15		eleq2 1958	. . . . . . . . 9 |- ({A, B, C} = (/) -> (C e. {A, B, C} <-> C e. (/)))
16	15	notbid 673	. . . . . . . 8 |- ({A, B, C} = (/) -> (-. C e. {A, B, C} <-> -. C e. (/)))
17	16	biimprd 171	. . . . . . 7 |- ({A, B, C} = (/) -> (-. C e. (/) -> -. C e. {A, B, C}))
18	13, 14, 17	e10 16585	. . . . . 6 |- . {A, B, C} = (/)   ⊢    -. C e. {A, B, C} .
19		tpid3g 3115	. . . . . . 7 |- (C e. A -> C e. {A, B, C})
20	19	con3i 114	. . . . . 6 |- (-. C e. {A, B, C} -> -. C e. A)
21	18, 20	e1_ 16518	. . . . 5 |- . {A, B, C} = (/)   ⊢    -. C e. A .
22		simp3 878	. . . . . 6 |- ((A e. B /\ B e. C /\ C e. A) -> C e. A)
23	22	con3i 114	. . . . 5 |- (-. C e. A -> -. (A e. B /\ B e. C /\ C e. A))
24	21, 23	e1_ 16518	. . . 4 |- . {A, B, C} = (/)   ⊢    -. (A e. B /\ B e. C /\ C e. A) .
25	24	in1 16481	. . 3 |- ({A, B, C} = (/) -> -. (A e. B /\ B e. C /\ C e. A))
26	12, 25	jaoi 368	. 2 |- (({A, B, C} =/= (/) \/ {A, B, C} = (/)) -> -. (A e. B /\ B e. C /\ C e. A))
27	5, 26	ax-mp 7	1 |- -. (A e. B /\ B e. C /\ C e. A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  (/)c0 2875  {ctp 3051

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-vd1 16480

Copyright terms: Public domain