MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en3 Structured version   Unicode version

Theorem en3 7811
Description: A set equinumerous to ordinal 3 is a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Assertion
Ref Expression
en3  |-  ( A 
~~  3o  ->  E. x E. y E. z  A  =  { x ,  y ,  z } )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem en3
StepHypRef Expression
1 2onn 7346 . 2  |-  2o  e.  om
2 df-3o 7189 . 2  |-  3o  =  suc  2o
3 en2 7810 . 2  |-  ( ( A  \  { x } )  ~~  2o  ->  E. y E. z
( A  \  {
x } )  =  { y ,  z } )
4 tpass 4095 . . . 4  |-  { x ,  y ,  z }  =  ( { x }  u.  {
y ,  z } )
54enp1ilem 7808 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A  \  {
x } )  =  { y ,  z }  ->  A  =  { x ,  y ,  z } ) )
652eximdv 1756 . 2  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y E. z ( A  \  { x } )  =  {
y ,  z }  ->  E. y E. z  A  =  { x ,  y ,  z } ) )
71, 2, 3, 6enp1i 7809 1  |-  ( A 
~~  3o  ->  E. x E. y E. z  A  =  { x ,  y ,  z } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868    \ cdif 3433   {csn 3996   {cpr 3998   {ctp 4000   class class class wbr 4420   2oc2o 7181   3oc3o 7182    ~~ cen 7571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-om 6704  df-1o 7187  df-2o 7188  df-3o 7189  df-er 7368  df-en 7575  df-fin 7578
This theorem is referenced by:  en4  7812  hash3tr  12644
  Copyright terms: Public domain W3C validator