MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2sn Structured version   Unicode version

Theorem en2sn 7587
Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
en2sn  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A }  ~~  { B } )

Proof of Theorem en2sn
StepHypRef Expression
1 ensn1g 7572 . 2  |-  ( A  e.  C  ->  { A }  ~~  1o )
2 ensn1g 7572 . . 3  |-  ( B  e.  D  ->  { B }  ~~  1o )
32ensymd 7558 . 2  |-  ( B  e.  D  ->  1o  ~~ 
{ B } )
4 entr 7559 . 2  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  1o  ~~  { B } )  ->  { A }  ~~  { B }
)
51, 3, 4syl2an 477 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A }  ~~  { B } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762   {csn 4022   class class class wbr 4442   1oc1o 7115    ~~ cen 7505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-id 4790  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7509
This theorem is referenced by:  difsnen  7591  domunsncan  7609  domunsn  7659  limensuci  7685  infensuc  7687  sucdom2  7706  dif1enOLD  7743  dif1en  7744  dif1card  8379  fin23lem26  8696  unsnen  8919  canthp1lem1  9021  fzennn  12036  hashsng  12395  mreexexlem4d  14893
  Copyright terms: Public domain W3C validator