MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2other2 Structured version   Unicode version

Theorem en2other2 8383
Description: Taking the other element twice in a pair gets back to the original element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2other2  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  U. ( P  \  { U. ( P  \  { X } ) } )  =  X )

Proof of Theorem en2other2
StepHypRef Expression
1 en2eleq 8382 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  P  =  { X ,  U. ( P  \  { X } ) } )
2 prcom 4105 . . . . . . 7  |-  { X ,  U. ( P  \  { X } ) }  =  { U. ( P  \  { X }
) ,  X }
31, 2syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  P  =  { U. ( P  \  { X }
) ,  X }
)
43difeq1d 3621 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  -> 
( P  \  { U. ( P  \  { X } ) } )  =  ( { U. ( P  \  { X } ) ,  X }  \  { U. ( P  \  { X }
) } ) )
5 difprsnss 4162 . . . . 5  |-  ( { U. ( P  \  { X } ) ,  X }  \  { U. ( P  \  { X } ) } ) 
C_  { X }
64, 5syl6eqss 3554 . . . 4  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  -> 
( P  \  { U. ( P  \  { X } ) } ) 
C_  { X }
)
7 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  X  e.  P )
8 1onn 7285 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  om
98a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  1o  e.  om )
10 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  P  ~~  2o )
11 df-2o 7128 . . . . . . . . . 10  |-  2o  =  suc  1o
1210, 11syl6breq 4486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  P  ~~  suc  1o )
13 dif1en 7749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  P  ~~  suc  1o  /\  X  e.  P )  ->  ( P  \  { X } )  ~~  1o )
149, 12, 7, 13syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  -> 
( P  \  { X } )  ~~  1o )
15 en1uniel 7584 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  \  { X } )  ~~  1o  ->  U. ( P  \  { X } )  e.  ( P  \  { X } ) )
16 eldifsni 4153 . . . . . . . 8  |-  ( U. ( P  \  { X } )  e.  ( P  \  { X } )  ->  U. ( P  \  { X }
)  =/=  X )
1714, 15, 163syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  U. ( P  \  { X } )  =/=  X
)
1817necomd 2738 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  X  =/=  U. ( P 
\  { X }
) )
19 eldifsn 4152 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( P  \  { U. ( P  \  { X } ) } )  <->  ( X  e.  P  /\  X  =/=  U. ( P  \  { X } ) ) )
207, 18, 19sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  X  e.  ( P  \  { U. ( P 
\  { X }
) } ) )
2120snssd 4172 . . . 4  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  { X }  C_  ( P  \  { U. ( P  \  { X }
) } ) )
226, 21eqssd 3521 . . 3  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  -> 
( P  \  { U. ( P  \  { X } ) } )  =  { X }
)
2322unieqd 4255 . 2  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  U. ( P  \  { U. ( P  \  { X } ) } )  =  U. { X } )
24 unisng 4261 . . 3  |-  ( X  e.  P  ->  U. { X }  =  X
)
2524adantr 465 . 2  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  U. { X }  =  X )
2623, 25eqtrd 2508 1  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  U. ( P  \  { U. ( P  \  { X } ) } )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    \ cdif 3473   {csn 4027   {cpr 4029   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   suc csuc 4880   omcom 6678   1oc1o 7120   2oc2o 7121    ~~ cen 7510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-1o 7127  df-2o 7128  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517
This theorem is referenced by:  pmtrfinv  16279
  Copyright terms: Public domain W3C validator