MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2 Structured version   Unicode version

Theorem en2 7693
Description: A set equinumerous to ordinal 2 is a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Assertion
Ref Expression
en2  |-  ( A 
~~  2o  ->  E. x E. y  A  =  { x ,  y } )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem en2
StepHypRef Expression
1 1onn 7228 . 2  |-  1o  e.  om
2 df-2o 7071 . 2  |-  2o  =  suc  1o
3 en1 7523 . . 3  |-  ( ( A  \  { x } )  ~~  1o  <->  E. y ( A  \  { x } )  =  { y } )
43biimpi 194 . 2  |-  ( ( A  \  { x } )  ~~  1o  ->  E. y ( A 
\  { x }
)  =  { y } )
5 df-pr 3964 . . . 4  |-  { x ,  y }  =  ( { x }  u.  { y } )
65enp1ilem 7691 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A  \  {
x } )  =  { y }  ->  A  =  { x ,  y } ) )
76eximdv 1725 . 2  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y ( A  \  { x } )  =  { y }  ->  E. y  A  =  { x ,  y } ) )
81, 2, 4, 7enp1i 7692 1  |-  ( A 
~~  2o  ->  E. x E. y  A  =  { x ,  y } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399   E.wex 1627    e. wcel 1836    \ cdif 3403   {csn 3961   {cpr 3963   class class class wbr 4384   1oc1o 7063   2oc2o 7064    ~~ cen 7454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-br 4385  df-opab 4443  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-om 6622  df-1o 7070  df-2o 7071  df-er 7251  df-en 7458  df-fin 7461
This theorem is referenced by:  en3  7694  hash2pr  12442  pmtrrn2  16625
  Copyright terms: Public domain W3C validator