MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1top Structured version   Unicode version

Theorem en1top 18594
Description:  { (/)
} is the only topology with one element. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
en1top  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  ~~  1o  <->  J  =  { (/) } ) )

Proof of Theorem en1top
StepHypRef Expression
1 0opn 18522 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
2 en1eqsn 7547 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  J  /\  J  ~~  1o )  ->  J  =  { (/) } )
32ex 434 . . 3  |-  ( (/)  e.  J  ->  ( J 
~~  1o  ->  J  =  { (/) } ) )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  ~~  1o  ->  J  =  { (/) } ) )
5 id 22 . . 3  |-  ( J  =  { (/) }  ->  J  =  { (/) } )
6 0ex 4427 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
76ensn1 7378 . . 3  |-  { (/) } 
~~  1o
85, 7syl6eqbr 4334 . 2  |-  ( J  =  { (/) }  ->  J 
~~  1o )
94, 8impbid1 203 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  ~~  1o  <->  J  =  { (/) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   (/)c0 3642   {csn 3882   class class class wbr 4297   1oc1o 6918    ~~ cen 7312   Topctop 18503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-om 6482  df-1o 6925  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-top 18508
This theorem is referenced by:  hmph0  19373
  Copyright terms: Public domain W3C validator