MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1top Structured version   Unicode version

Theorem en1top 19612
Description:  { (/)
} is the only topology with one element. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
en1top  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  ~~  1o  <->  J  =  { (/) } ) )

Proof of Theorem en1top
StepHypRef Expression
1 0opn 19539 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
2 en1eqsn 7768 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  J  /\  J  ~~  1o )  ->  J  =  { (/) } )
32ex 434 . . 3  |-  ( (/)  e.  J  ->  ( J 
~~  1o  ->  J  =  { (/) } ) )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  ~~  1o  ->  J  =  { (/) } ) )
5 id 22 . . 3  |-  ( J  =  { (/) }  ->  J  =  { (/) } )
6 0ex 4587 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
76ensn1 7598 . . 3  |-  { (/) } 
~~  1o
85, 7syl6eqbr 4493 . 2  |-  ( J  =  { (/) }  ->  J 
~~  1o )
94, 8impbid1 203 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  ~~  1o  <->  J  =  { (/) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1395    e. wcel 1819   (/)c0 3793   {csn 4032   class class class wbr 4456   1oc1o 7141    ~~ cen 7532   Topctop 19520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-top 19525
This theorem is referenced by:  hmph0  20421
  Copyright terms: Public domain W3C validator