MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1eqsn Structured version   Unicode version

Theorem en1eqsn 7749
Description: A set with one element is a singleton. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
en1eqsn  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  B  =  { A } )

Proof of Theorem en1eqsn
StepHypRef Expression
1 1onn 7288 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
2 ssid 3523 . . . . . 6  |-  1o  C_  1o
3 ssnnfi 7739 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  1o  C_  1o )  ->  1o  e.  Fin )
41, 2, 3mp2an 672 . . . . 5  |-  1o  e.  Fin
5 enfii 7737 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  Fin  /\  B  ~~  1o )  ->  B  e.  Fin )
64, 5mpan 670 . . . 4  |-  ( B 
~~  1o  ->  B  e. 
Fin )
76adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  B  e.  Fin )
8 snssi 4171 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  { A }  C_  B )
98adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  { A }  C_  B
)
10 ensn1g 7580 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  { A }  ~~  1o )
11 ensym 7564 . . . 4  |-  ( B 
~~  1o  ->  1o  ~~  B )
12 entr 7567 . . . 4  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  1o  ~~  B
)  ->  { A }  ~~  B )
1310, 11, 12syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  { A }  ~~  B
)
14 fisseneq 7731 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  { A }  C_  B  /\  { A }  ~~  B )  ->  { A }  =  B )
157, 9, 13, 14syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  { A }  =  B )
1615eqcomd 2475 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  B  =  { A } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447   omcom 6684   1oc1o 7123    ~~ cen 7513   Fincfn 7516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6685  df-1o 7130  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520
This theorem is referenced by:  en1eqsnbi  7750  gex1  16417  0cyg  16698  pgpfac1lem3a  16929  pgpfaclem3  16936  0rng  17717  en1top  19280  cnextfres  20331  rngosn4  25133  rngoueqz  25136  xrge0tsmseq  27468  sconpi1  28352  isdmn3  30102
  Copyright terms: Public domain W3C validator