MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1eqsn Structured version   Unicode version

Theorem en1eqsn 7751
Description: A set with one element is a singleton. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
en1eqsn  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  B  =  { A } )

Proof of Theorem en1eqsn
StepHypRef Expression
1 1onn 7290 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
2 ssid 3508 . . . . . 6  |-  1o  C_  1o
3 ssnnfi 7741 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  1o  C_  1o )  ->  1o  e.  Fin )
41, 2, 3mp2an 672 . . . . 5  |-  1o  e.  Fin
5 enfii 7739 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  Fin  /\  B  ~~  1o )  ->  B  e.  Fin )
64, 5mpan 670 . . . 4  |-  ( B 
~~  1o  ->  B  e. 
Fin )
76adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  B  e.  Fin )
8 snssi 4159 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  { A }  C_  B )
98adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  { A }  C_  B
)
10 ensn1g 7582 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  { A }  ~~  1o )
11 ensym 7566 . . . 4  |-  ( B 
~~  1o  ->  1o  ~~  B )
12 entr 7569 . . . 4  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  1o  ~~  B
)  ->  { A }  ~~  B )
1310, 11, 12syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  { A }  ~~  B
)
14 fisseneq 7733 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  { A }  C_  B  /\  { A }  ~~  B )  ->  { A }  =  B )
157, 9, 13, 14syl3anc 1229 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  { A }  =  B )
1615eqcomd 2451 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  B  =  { A } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    C_ wss 3461   {csn 4014   class class class wbr 4437   omcom 6685   1oc1o 7125    ~~ cen 7515   Fincfn 7518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-om 6686  df-1o 7132  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522
This theorem is referenced by:  en1eqsnbi  7752  gex1  16590  0cyg  16874  pgpfac1lem3a  17106  pgpfaclem3  17113  0ring  17897  en1top  19464  cnextfres  20546  rngoueqz  25410  xrge0tsmseq  27755  sconpi1  28662  isdmn3  30447
  Copyright terms: Public domain W3C validator