MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1b Unicode version

Theorem en1b 7134
Description: A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
en1b  |-  ( A 
~~  1o  <->  A  =  { U. A } )

Proof of Theorem en1b
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 en1 7133 . . 3  |-  ( A 
~~  1o  <->  E. x  A  =  { x } )
2 id 20 . . . . 5  |-  ( A  =  { x }  ->  A  =  { x } )
3 unieq 3984 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { x }  ->  U. A  =  U. { x } )
4 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
54unisn 3991 . . . . . . 7  |-  U. {
x }  =  x
63, 5syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( A  =  { x }  ->  U. A  =  x )
76sneqd 3787 . . . . 5  |-  ( A  =  { x }  ->  { U. A }  =  { x } )
82, 7eqtr4d 2439 . . . 4  |-  ( A  =  { x }  ->  A  =  { U. A } )
98exlimiv 1641 . . 3  |-  ( E. x  A  =  {
x }  ->  A  =  { U. A }
)
101, 9sylbi 188 . 2  |-  ( A 
~~  1o  ->  A  =  { U. A }
)
11 id 20 . . 3  |-  ( A  =  { U. A }  ->  A  =  { U. A } )
12 snex 4365 . . . . . 6  |-  { U. A }  e.  _V
1311, 12syl6eqel 2492 . . . . 5  |-  ( A  =  { U. A }  ->  A  e.  _V )
14 uniexg 4665 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  U. A  e.  _V )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( A  =  { U. A }  ->  U. A  e.  _V )
16 ensn1g 7131 . . . 4  |-  ( U. A  e.  _V  ->  { U. A }  ~~  1o )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( A  =  { U. A }  ->  { U. A }  ~~  1o )
1811, 17eqbrtrd 4192 . 2  |-  ( A  =  { U. A }  ->  A  ~~  1o )
1910, 18impbii 181 1  |-  ( A 
~~  1o  <->  A  =  { U. A } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   {csn 3774   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   1oc1o 6676    ~~ cen 7065
This theorem is referenced by:  sylow2alem2  15207  sylow2a  15208  frgpcyg  16809  ptcmplem3  18038  cnextfvval  18049  cnextcn  18051  minveclem4a  19284  isppw  20850  xrge0tsmsbi  24177  en1uniel  27248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-suc 4547  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-1o 6683  df-en 7069
  Copyright terms: Public domain W3C validator