MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1b Structured version   Unicode version

Theorem en1b 7482
Description: A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
en1b  |-  ( A 
~~  1o  <->  A  =  { U. A } )

Proof of Theorem en1b
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 en1 7481 . . 3  |-  ( A 
~~  1o  <->  E. x  A  =  { x } )
2 id 22 . . . . 5  |-  ( A  =  { x }  ->  A  =  { x } )
3 unieq 4202 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { x }  ->  U. A  =  U. { x } )
4 vex 3075 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
54unisn 4209 . . . . . . 7  |-  U. {
x }  =  x
63, 5syl6eq 2509 . . . . . 6  |-  ( A  =  { x }  ->  U. A  =  x )
76sneqd 3992 . . . . 5  |-  ( A  =  { x }  ->  { U. A }  =  { x } )
82, 7eqtr4d 2496 . . . 4  |-  ( A  =  { x }  ->  A  =  { U. A } )
98exlimiv 1689 . . 3  |-  ( E. x  A  =  {
x }  ->  A  =  { U. A }
)
101, 9sylbi 195 . 2  |-  ( A 
~~  1o  ->  A  =  { U. A }
)
11 id 22 . . 3  |-  ( A  =  { U. A }  ->  A  =  { U. A } )
12 snex 4636 . . . . . 6  |-  { U. A }  e.  _V
1311, 12syl6eqel 2548 . . . . 5  |-  ( A  =  { U. A }  ->  A  e.  _V )
14 uniexg 6482 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  U. A  e.  _V )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( A  =  { U. A }  ->  U. A  e.  _V )
16 ensn1g 7479 . . . 4  |-  ( U. A  e.  _V  ->  { U. A }  ~~  1o )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( A  =  { U. A }  ->  { U. A }  ~~  1o )
1811, 17eqbrtrd 4415 . 2  |-  ( A  =  { U. A }  ->  A  ~~  1o )
1910, 18impbii 188 1  |-  ( A 
~~  1o  <->  A  =  { U. A } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   _Vcvv 3072   {csn 3980   U.cuni 4194   class class class wbr 4395   1oc1o 7018    ~~ cen 7412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-id 4739  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-1o 7025  df-en 7416
This theorem is referenced by:  en1uniel  7486  sylow2alem2  16233  sylow2a  16234  frgpcyg  18126  ptcmplem3  19753  cnextfvval  19764  cnextcn  19766  minveclem4a  21044  isppw  22580  xrge0tsmsbi  26394
  Copyright terms: Public domain W3C validator