Theorem en1b 7482

Description: A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en1b	|- ( A ~~ 1o <-> A = { U. A } )

Proof of Theorem en1b

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en1 7481	. . 3 |- ( A ~~ 1o <-> E. x A = { x } )
2		id 22	. . . . 5 |- ( A = { x } -> A = { x } )
3		unieq 4202	. . . . . . 7 |- ( A = { x } -> U. A = U. { x } )
4		vex 3075	. . . . . . . 8 |- x e. _V
5	4	unisn 4209	. . . . . . 7 |- U. { x } = x
6	3, 5	syl6eq 2509	. . . . . 6 |- ( A = { x } -> U. A = x )
7	6	sneqd 3992	. . . . 5 |- ( A = { x } -> { U. A } = { x } )
8	2, 7	eqtr4d 2496	. . . 4 |- ( A = { x } -> A = { U. A } )
9	8	exlimiv 1689	. . 3 |- ( E. x A = { x } -> A = { U. A } )
10	1, 9	sylbi 195	. 2 |- ( A ~~ 1o -> A = { U. A } )
11		id 22	. . 3 |- ( A = { U. A } -> A = { U. A } )
12		snex 4636	. . . . . 6 |- { U. A } e. _V
13	11, 12	syl6eqel 2548	. . . . 5 |- ( A = { U. A } -> A e. _V )
14		uniexg 6482	. . . . 5 |- ( A e. _V -> U. A e. _V )
15	13, 14	syl 16	. . . 4 |- ( A = { U. A } -> U. A e. _V )
16		ensn1g 7479	. . . 4 |- ( U. A e. _V -> { U. A } ~~ 1o )
17	15, 16	syl 16	. . 3 |- ( A = { U. A } -> { U. A } ~~ 1o )
18	11, 17	eqbrtrd 4415	. 2 |- ( A = { U. A } -> A ~~ 1o )
19	10, 18	impbii 188	1 |- ( A ~~ 1o <-> A = { U. A } )

Syntax hints:   <-> wb 184   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   _Vcvv 3072   {csn 3980   U.cuni 4194   class class class wbr 4395   1oc1o 7018   ~~ cen 7412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4634  ax-un 6477

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-id 4739  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-1o 7025  df-en 7416

This theorem is referenced by:  en1uniel  7486  sylow2alem2  16233  sylow2a  16234  frgpcyg  18126  ptcmplem3  19753  cnextfvval  19764  cnextcn  19766  minveclem4a  21044  isppw  22580  xrge0tsmsbi  26394