Theorem empos 14583

Description: The empty set is a poset.

Assertion

Ref	Expression
empos	|- (/) e. Poset

Proof of Theorem empos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 3446	. . 3 |- (/) e. _V
2		isps 9988	. . 3 |- ((/) e. _V -> ((/) e. Poset <-> (Rel (/) /\ ((/) o. (/)) C_ (/) /\ ((/) i^i `'(/)) = ( _I |` U.U.(/)))))
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- ((/) e. Poset <-> (Rel (/) /\ ((/) o. (/)) C_ (/) /\ ((/) i^i `'(/)) = ( _I |` U.U.(/))))
4		rel0 4102	. 2 |- Rel (/)
5		co01 4412	. . 3 |- ((/) o. (/)) = (/)
6	5	eqimssi 2668	. 2 |- ((/) o. (/)) C_ (/)
7		cnv0 4319	. . . 4 |- `'(/) = (/)
8	7	ineq2i 2793	. . 3 |- ((/) i^i `'(/)) = ((/) i^i (/))
9		inidm 2803	. . 3 |- ((/) i^i (/)) = (/)
10		uni0 3205	. . . . . . 7 |- U.(/) = (/)
11	10	unieqi 3187	. . . . . 6 |- U.U.(/) = U.(/)
12	11, 10	eqtri 1908	. . . . 5 |- U.U.(/) = (/)
13		reseq2 4219	. . . . 5 |- (U.U.(/) = (/) -> ( _I |` U.U.(/)) = ( _I |` (/)))
14	12, 13	ax-mp 7	. . . 4 |- ( _I |` U.U.(/)) = ( _I |` (/))
15		res0 4221	. . . 4 |- ( _I |` (/)) = (/)
16	14, 15	eqtr2i 1909	. . 3 |- (/) = ( _I |` U.U.(/))
17	8, 9, 16	3eqtri 1912	. 2 |- ((/) i^i `'(/)) = ( _I |` U.U.(/))
18	3, 4, 6, 17	mpbir3an 1052	1 |- (/) e. Poset

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177   _I cid 3582  `'ccnv 3985   |` cres 3988   o. ccom 3990  Rel wrel 3991  Posetcps 9980

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-res 4006  df-ps 9984

Copyright terms: Public domain