Theorem empistar 15219

Description: The empty set is an inaccessible ardinal.

Assertion

Ref	Expression
empistar	|- (/) e. Tarski

Proof of Theorem empistar

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 3446	. 2 |- (/) e. _V
2		pw0 3132	. . . . . . . 8 |- ~P(/) = {(/)}
3	2	eleq2i 1961	. . . . . . 7 |- (x e. ~P(/) <-> x e. {(/)})
4		elsni 3066	. . . . . . . 8 |- (x e. {(/)} -> x = (/))
5	1	enref 5450	. . . . . . . . . 10 |- (/) ~~ (/)
6		breq1 3341	. . . . . . . . . 10 |- (x = (/) -> (x ~~ (/) <-> (/) ~~ (/)))
7	5, 6	mpbiri 211	. . . . . . . . 9 |- (x = (/) -> x ~~ (/))
8	7	orcd 294	. . . . . . . 8 |- (x = (/) -> (x ~~ (/) \/ x e. (/)))
9	4, 8	syl 12	. . . . . . 7 |- (x e. {(/)} -> (x ~~ (/) \/ x e. (/)))
10	3, 9	sylbi 216	. . . . . 6 |- (x e. ~P(/) -> (x ~~ (/) \/ x e. (/)))
11	10	rgen 2159	. . . . 5 |- A.x e. ~P (/)(x ~~ (/) \/ x e. (/))
12	11	a1i 8	. . . 4 |- ((/) e. _V -> A.x e. ~P (/)(x ~~ (/) \/ x e. (/)))
13		ral0 2974	. . . 4 |- A.x e. (/) (~Px C_ (/) /\ ~Px e. (/))
14	12, 13	jctil 316	. . 3 |- ((/) e. _V -> (A.x e. (/) (~Px C_ (/) /\ ~Px e. (/)) /\ A.x e. ~P (/)(x ~~ (/) \/ x e. (/))))
15		tarval1g 15215	. . 3 |- ((/) e. _V -> ((/) e. Tarski <-> (A.x e. (/) (~Px C_ (/) /\ ~Px e. (/)) /\ A.x e. ~P (/)(x ~~ (/) \/ x e. (/)))))
16	14, 15	mpbird 213	. 2 |- ((/) e. _V -> (/) e. Tarski )
17	1, 16	ax-mp 7	1 |- (/) e. Tarski

Syntax hints:   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875  ~Pcpw 3032  {csn 3044   class class class wbr 3338   ~~ cen 5423   Tarski ctarski 15208

This theorem is referenced by:  inttar1 15254

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-en 5427  df-tsk 15210

Copyright terms: Public domain