Theorem emhgrat 16297

Description: An ordered pair with an empty second element is a hypergraph (with no blocks/edges).

Assertion

Ref	Expression
emhgrat	|- (A e. B -> <.A, (/)>. e. HypGrph)

Proof of Theorem emhgrat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		in0 2897	. . 3 |- (A i^i (/)) = (/)
2		ral0 2974	. . 3 |- A.b e. (/) (b C_ A /\ b =/= (/))
3	1, 2	pm3.2i 307	. 2 |- ((A i^i (/)) = (/) /\ A.b e. (/) (b C_ A /\ b =/= (/)))
4		0ex 3446	. . 3 |- (/) e. _V
5		eqid 1884	. . . 4 |- <.A, (/)>. = <.A, (/)>.
6	5	ishgrag 16291	. . 3 |- ((A e. B /\ (/) e. _V) -> (<.A, (/)>. e. HypGrph <-> ((A i^i (/)) = (/) /\ A.b e. (/) (b C_ A /\ b =/= (/)))))
7	4, 6	mpan2 760	. 2 |- (A e. B -> (<.A, (/)>. e. HypGrph <-> ((A i^i (/)) = (/) /\ A.b e. (/) (b C_ A /\ b =/= (/)))))
8	3, 7	mpbiri 211	1 |- (A e. B -> <.A, (/)>. e. HypGrph)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  <.cop 3046  HypGrphchgra 16287

This theorem is referenced by:  0hgra 16298

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-hgra 16288

Copyright terms: Public domain