MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emgt0 Structured version   Unicode version

Theorem emgt0 22419
Description: The Euler-Mascheroni constant is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
emgt0  |-  0  <  gamma

Proof of Theorem emgt0
StepHypRef Expression
1 egt2lt3 13507 . . . . . 6  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
21simpli 458 . . . . 5  |-  2  <  _e
3 2rp 11015 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
4 reeflog 22048 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( exp `  ( log `  2
) )  =  2 )
53, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( exp `  ( log `  2
) )  =  2
6 df-e 13373 . . . . . 6  |-  _e  =  ( exp `  1 )
76eqcomi 2447 . . . . 5  |-  ( exp `  1 )  =  _e
82, 5, 73brtr4i 4339 . . . 4  |-  ( exp `  ( log `  2
) )  <  ( exp `  1 )
9 relogcl 22046 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
103, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  e.  RR
11 1re 9404 . . . . 5  |-  1  e.  RR
12 eflt 13420 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( log `  2
)  <  1  <->  ( exp `  ( log `  2
) )  <  ( exp `  1 ) ) )
1310, 11, 12mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( log `  2 )  <  1  <->  ( exp `  ( log `  2
) )  <  ( exp `  1 ) )
148, 13mpbir 209 . . 3  |-  ( log `  2 )  <  1
1510, 11posdifi 9909 . . 3  |-  ( ( log `  2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( log `  2 ) ) )
1614, 15mpbi 208 . 2  |-  0  <  ( 1  -  ( log `  2 ) )
17 emcl 22415 . . 3  |-  gamma  e.  ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] 1 )
1811, 10resubcli 9690 . . . . 5  |-  ( 1  -  ( log `  2
) )  e.  RR
1918, 11elicc2i 11380 . . . 4  |-  ( gamma  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] 1
)  <->  ( gamma  e.  RR  /\  ( 1  -  ( log `  2 ) )  <_  gamma  /\  gamma  <_  1
) )
2019simp2bi 1004 . . 3  |-  ( gamma  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] 1
)  ->  ( 1  -  ( log `  2
) )  <_  gamma )
2117, 20ax-mp 5 . 2  |-  ( 1  -  ( log `  2
) )  <_  gamma
22 0re 9405 . . 3  |-  0  e.  RR
23 emre 22418 . . 3  |-  gamma  e.  RR
2422, 18, 23ltletri 9521 . 2  |-  ( ( 0  <  ( 1  -  ( log `  2
) )  /\  (
1  -  ( log `  2 ) )  <_  gamma )  ->  0  <  gamma )
2516, 21, 24mp2an 672 1  |-  0  <  gamma
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4311   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   RRcr 9300   0cc0 9301   1c1 9302    < clt 9437    <_ cle 9438    - cmin 9614   2c2 10390   3c3 10391   RR+crp 11010   [,]cicc 11322   expce 13366   _eceu 13367   logclog 22025   gammacem 22404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379  ax-addf 9380  ax-mulf 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-iin 4193  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-supp 6710  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-2o 6940  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-pm 7236  df-ixp 7283  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fsupp 7640  df-fi 7680  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-cda 8356  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-q 10973  df-rp 11011  df-xneg 11108  df-xadd 11109  df-xmul 11110  df-ioo 11323  df-ioc 11324  df-ico 11325  df-icc 11326  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-fl 11661  df-mod 11728  df-seq 11826  df-exp 11885  df-fac 12071  df-bc 12098  df-hash 12123  df-shft 12575  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-limsup 12968  df-clim 12985  df-rlim 12986  df-sum 13183  df-ef 13372  df-e 13373  df-sin 13374  df-cos 13375  df-pi 13377  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-starv 14272  df-sca 14273  df-vsca 14274  df-ip 14275  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-unif 14280  df-hom 14281  df-cco 14282  df-rest 14380  df-topn 14381  df-0g 14399  df-gsum 14400  df-topgen 14401  df-pt 14402  df-prds 14405  df-xrs 14459  df-qtop 14464  df-imas 14465  df-xps 14467  df-mre 14543  df-mrc 14544  df-acs 14546  df-mnd 15434  df-submnd 15484  df-mulg 15567  df-cntz 15854  df-cmn 16298  df-psmet 17828  df-xmet 17829  df-met 17830  df-bl 17831  df-mopn 17832  df-fbas 17833  df-fg 17834  df-cnfld 17838  df-top 18522  df-bases 18524  df-topon 18525  df-topsp 18526  df-cld 18642  df-ntr 18643  df-cls 18644  df-nei 18721  df-lp 18759  df-perf 18760  df-cn 18850  df-cnp 18851  df-haus 18938  df-tx 19154  df-hmeo 19347  df-fil 19438  df-fm 19530  df-flim 19531  df-flf 19532  df-xms 19914  df-ms 19915  df-tms 19916  df-cncf 20473  df-limc 21360  df-dv 21361  df-log 22027  df-em 22405
This theorem is referenced by:  harmonicbnd3  22420  mulog2sumlem2  22803  pntpbnd2  22855
  Copyright terms: Public domain W3C validator