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Theorem emcllem7 23457
Description: Lemma for emcl 23458 and harmonicbnd 23459. Derive bounds on  gamma as  F ( 1 ) and  G ( 1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
emcl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
emcl.4  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem7  |-  ( gamma  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] 1
)  /\  F : NN
--> ( gamma [,] 1 )  /\  G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) )
Distinct variable groups:    m, H    m, n, T
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)    H( n)

Proof of Theorem emcllem7
Dummy variables  i 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11141 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10916 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 emcl.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
4 emcl.2 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
5 emcl.3 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
6 emcl.4 . . . . . . . 8  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
73, 4, 5, 6emcllem6 23456 . . . . . . 7  |-  ( F  ~~> 
gamma  /\  G  ~~>  gamma )
87simpri 462 . . . . . 6  |-  G  ~~>  gamma
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  G  ~~>  gamma )
103, 4emcllem1 23451 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> RR  /\  G : NN --> RR )
1110simpri 462 . . . . . . 7  |-  G : NN
--> RR
1211ffvelrni 6031 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  e.  RR )
1312adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
141, 2, 9, 13climrecl 13418 . . . 4  |-  ( T. 
->  gamma  e.  RR )
15 1nn 10567 . . . . 5  |-  1  e.  NN
16 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
178a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  i  e.  NN )  ->  G  ~~>  gamma )
1812adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
193, 4emcllem2 23452 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )
2019simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
2120adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
221, 16, 17, 18, 21climub 13496 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( G `  i )  <_ 
gamma )
2322ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( T. 
->  A. i  e.  NN  ( G `  i )  <_  gamma )
24 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  ( G `  i )  =  ( G ` 
1 ) )
25 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... 1
) )
2625sumeq1d 13535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... n
) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... 1 ) ( 1  /  m ) )
27 1z 10915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ZZ
28 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
29 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
1 ) )
30 1div1e1 10258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  1 )  =  1
3129, 30syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  1 )
3231fsum1 13576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ m  e.  (
1 ... 1 ) ( 1  /  m )  =  1 )
3327, 28, 32mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ m  e.  ( 1 ... 1
) ( 1  /  m )  =  1
3426, 33syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... n
) ( 1  /  m )  =  1 )
35 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
n  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
36 df-2 10615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =  ( 1  +  1 )
3735, 36syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
n  +  1 )  =  2 )
3837fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( n  + 
1 ) )  =  ( log `  2
) )
3934, 38oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( log `  2 ) ) )
40 1re 9612 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
41 2rp 11250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
42 relogcl 23089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( log `  2 )  e.  RR
4440, 43resubcli 9900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  ( log `  2
) )  e.  RR
4544elexi 3119 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  ( log `  2
) )  e.  _V
4639, 4, 45fvmpt 5956 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( G `  1 )  =  ( 1  -  ( log `  2
) ) )
4715, 46ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( G `
 1 )  =  ( 1  -  ( log `  2 ) )
4824, 47syl6eq 2514 . . . . . . 7  |-  ( i  =  1  ->  ( G `  i )  =  ( 1  -  ( log `  2
) ) )
4948breq1d 4466 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  (
( G `  i
)  <_  gamma  <->  ( 1  -  ( log `  2
) )  <_  gamma )
)
5049rspcva 3208 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A. i  e.  NN  ( G `  i )  <_ 
gamma )  ->  ( 1  -  ( log `  2
) )  <_  gamma )
5115, 23, 50sylancr 663 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 1  -  ( log `  2 ) )  <_  gamma )
52 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  i  ->  ( F `  x )  =  ( F `  i ) )
5352negeqd 9833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  -u ( F `  x )  =  -u ( F `  i ) )
54 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x )
)  =  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x )
)
55 negex 9837 . . . . . . . . . . 11  |-  -u ( F `  i )  e.  _V
5653, 54, 55fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  i
)  =  -u ( F `  i )
)
5756adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  i  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  i
)  =  -u ( F `  i )
)
587simpli 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  ~~>  gamma
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  F  ~~>  gamma )
60 0cnd 9606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  0  e.  CC )
61 nnex 10562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  e.  _V
6261mptex 6144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x )
)  e.  _V
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) )  e.  _V )
6410simpli 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F : NN
--> RR
6564ffvelrni 6031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6665adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6766recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
68 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
6968negeqd 9833 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  -u ( F `  x )  =  -u ( F `  k ) )
70 negex 9837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u ( F `  k )  e.  _V
7169, 54, 70fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  =  -u ( F `  k )
)
7271adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  =  -u ( F `  k )
)
73 df-neg 9827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u ( F `  k )  =  ( 0  -  ( F `  k
) )
7472, 73syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  =  ( 0  -  ( F `  k ) ) )
751, 2, 59, 60, 63, 67, 74climsubc2 13473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) )  ~~>  ( 0  -  gamma ) )
7675adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  i  e.  NN )  ->  (
x  e.  NN  |->  -u ( F `  x ) )  ~~>  ( 0  - 
gamma ) )
7766renegcld 10007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  -u ( F `  k )  e.  RR )
7872, 77eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  e.  RR )
7978adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  e.  RR )
8019simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
8180adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
82 peano2nn 10568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
8382adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
8464ffvelrni 6031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
8685, 66lenegd 10152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  <->  -u ( F `
 k )  <_  -u ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
8781, 86mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  -u ( F `  k )  <_ 
-u ( F `  ( k  +  1 ) ) )
88 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
8988negeqd 9833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  -u ( F `  x )  =  -u ( F `  ( k  +  1 ) ) )
90 negex 9837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  _V
9189, 54, 90fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  -u ( F `  ( k  +  1 ) ) )
9283, 91syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  -u ( F `  ( k  +  1 ) ) )
9387, 72, 923brtr4d 4486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  <_  ( (
x  e.  NN  |->  -u ( F `  x ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
9493adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  <_  ( (
x  e.  NN  |->  -u ( F `  x ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
951, 16, 76, 79, 94climub 13496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  i  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  i
)  <_  ( 0  -  gamma ) )
9657, 95eqbrtrrd 4478 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  i  e.  NN )  ->  -u ( F `  i )  <_  ( 0  -  gamma ) )
97 df-neg 9827 . . . . . . . 8  |-  -u gamma  =  ( 0  -  gamma )
9896, 97syl6breqr 4496 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  i  e.  NN )  ->  -u ( F `  i )  <_ 
-u gamma )
9914trud 1404 . . . . . . . 8  |-  gamma  e.  RR
10064ffvelrni 6031 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN  ->  ( F `  i )  e.  RR )
101100adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
102 leneg 10076 . . . . . . . 8  |-  ( (
gamma  e.  RR  /\  ( F `  i )  e.  RR )  ->  ( gamma  <_  ( F `  i )  <->  -u ( F `
 i )  <_  -u
gamma ) )
10399, 101, 102sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( gamma  <_  ( F `  i )  <->  -u ( F `
 i )  <_  -u
gamma ) )
10498, 103mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  i  e.  NN )  ->  gamma  <_  ( F `  i )
)
105104ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( T. 
->  A. i  e.  NN  gamma  <_  ( F `  i
) )
106 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
1 ) )
107 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  n )  =  ( log `  1
) )
108 log1 23096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  1 )  =  0
109107, 108syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  n )  =  0 )
11034, 109oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n
) )  =  ( 1  -  0 ) )
111 1m0e1 10667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  0 )  =  1
112110, 111syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n
) )  =  1 )
11340elexi 3119 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
114112, 3, 113fvmpt 5956 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  =  1 )
11515, 114ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 1 )  =  1
116106, 115syl6eq 2514 . . . . . . 7  |-  ( i  =  1  ->  ( F `  i )  =  1 )
117116breq2d 4468 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  ( gamma  <_  ( F `  i )  <->  gamma  <_  1
) )
118117rspcva 3208 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A. i  e.  NN  gamma  <_ 
( F `  i
) )  ->  gamma  <_  1
)
11915, 105, 118sylancr 663 . . . 4  |-  ( T. 
->  gamma  <_  1 )
12044, 40elicc2i 11615 . . . 4  |-  ( gamma  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] 1
)  <->  ( gamma  e.  RR  /\  ( 1  -  ( log `  2 ) )  <_  gamma  /\  gamma  <_  1
) )
12114, 51, 119, 120syl3anbrc 1180 . . 3  |-  ( T. 
->  gamma  e.  ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] 1 ) )
122 ffn 5737 . . . . 5  |-  ( F : NN --> RR  ->  F  Fn  NN )
12364, 122mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  F  Fn  NN )
12416, 1syl6eleq 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
125 elfznn 11739 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... i )  ->  k  e.  NN )
126125adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... i
) )  ->  k  e.  NN )
127126, 65syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... i
) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
128 elfznn 11739 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( i  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
129128adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
130129, 80syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
131124, 127, 130monoord2 12141 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  <_  ( F `  1
) )
132131, 115syl6breq 4495 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  <_  1 )
13399, 40elicc2i 11615 . . . . . 6  |-  ( ( F `  i )  e.  ( gamma [,] 1
)  <->  ( ( F `
 i )  e.  RR  /\  gamma  <_  ( F `  i )  /\  ( F `  i
)  <_  1 ) )
134101, 104, 132, 133syl3anbrc 1180 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  e.  ( gamma [,] 1 ) )
135134ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( T. 
->  A. i  e.  NN  ( F `  i )  e.  ( gamma [,] 1
) )
136 ffnfv 6058 . . . 4  |-  ( F : NN --> ( gamma [,] 1 )  <->  ( F  Fn  NN  /\  A. i  e.  NN  ( F `  i )  e.  (
gamma [,] 1 ) ) )
137123, 135, 136sylanbrc 664 . . 3  |-  ( T. 
->  F : NN --> ( gamma [,] 1 ) )
138 ffn 5737 . . . . 5  |-  ( G : NN --> RR  ->  G  Fn  NN )
13911, 138mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  G  Fn  NN )
14011ffvelrni 6031 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  ->  ( G `  i )  e.  RR )
141140adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( G `  i )  e.  RR )
142126, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... i
) )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
143129, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
144124, 142, 143monoord 12140 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( G `  1 )  <_  ( G `  i
) )
14547, 144syl5eqbrr 4490 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  i  e.  NN )  ->  (
1  -  ( log `  2 ) )  <_  ( G `  i ) )
14644, 99elicc2i 11615 . . . . . 6  |-  ( ( G `  i )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] gamma )  <-> 
( ( G `  i )  e.  RR  /\  ( 1  -  ( log `  2 ) )  <_  ( G `  i )  /\  ( G `  i )  <_ 
gamma ) )
147141, 145, 22, 146syl3anbrc 1180 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( G `  i )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] gamma ) )
148147ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( T. 
->  A. i  e.  NN  ( G `  i )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] gamma ) )
149 ffnfv 6058 . . . 4  |-  ( G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma )  <->  ( G  Fn  NN  /\  A. i  e.  NN  ( G `  i )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) ) )
150139, 148, 149sylanbrc 664 . . 3  |-  ( T. 
->  G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) )
151121, 137, 1503jca 1176 . 2  |-  ( T. 
->  ( gamma  e.  (
( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] 1 )  /\  F : NN --> ( gamma [,] 1 )  /\  G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] gamma ) ) )
152151trud 1404 1  |-  ( gamma  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] 1
)  /\  F : NN
--> ( gamma [,] 1 )  /\  G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   [,]cicc 11557   ...cfz 11697    ~~> cli 13319   sum_csu 13520   logclog 23068   gammacem 23447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-em 23448
This theorem is referenced by:  emcl  23458  harmonicbnd  23459  harmonicbnd2  23460
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