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Theorem emcllem7 20793
Description: Lemma for emcl 20794 and harmonicbnd 20795. Derive bounds on  gamma as  F ( 1 ) and  G ( 1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
emcl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
emcl.4  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem7  |-  ( gamma  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] 1
)  /\  F : NN
--> ( gamma [,] 1 )  /\  G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) )
Distinct variable groups:    m, H    m, n, T
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)    H( n)

Proof of Theorem emcllem7
Dummy variables  i 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10477 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10267 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 emcl.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
5 emcl.2 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
6 emcl.3 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
7 emcl.4 . . . . . . . 8  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
84, 5, 6, 7emcllem6 20792 . . . . . . 7  |-  ( F  ~~> 
gamma  /\  G  ~~>  gamma )
98simpri 449 . . . . . 6  |-  G  ~~>  gamma
109a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  G  ~~>  gamma )
114, 5emcllem1 20787 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> RR  /\  G : NN --> RR )
1211simpri 449 . . . . . . 7  |-  G : NN
--> RR
1312ffvelrni 5828 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  e.  RR )
1413adantl 453 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
151, 3, 10, 14climrecl 12332 . . . 4  |-  (  T. 
->  gamma  e.  RR )
16 1nn 9967 . . . . 5  |-  1  e.  NN
17 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
189a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  G  ~~>  gamma )
1913adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
204, 5emcllem2 20788 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )
2120simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
2221adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
231, 17, 18, 19, 22climub 12410 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( G `  i )  <_ 
gamma )
2423ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  (  T. 
->  A. i  e.  NN  ( G `  i )  <_  gamma )
25 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  ( G `  i )  =  ( G ` 
1 ) )
26 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... 1
) )
2726sumeq1d 12450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... n
) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... 1 ) ( 1  /  m ) )
28 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
29 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
1 ) )
3028div1i 9698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  1 )  =  1
3129, 30syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  1 )
3231fsum1 12490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ m  e.  (
1 ... 1 ) ( 1  /  m )  =  1 )
332, 28, 32mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ m  e.  ( 1 ... 1
) ( 1  /  m )  =  1
3427, 33syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... n
) ( 1  /  m )  =  1 )
35 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
n  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
36 df-2 10014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =  ( 1  +  1 )
3735, 36syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
n  +  1 )  =  2 )
3837fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( n  + 
1 ) )  =  ( log `  2
) )
3934, 38oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( log `  2 ) ) )
40 1re 9046 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
41 2rp 10573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
42 relogcl 20426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
4341, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( log `  2 )  e.  RR
4440, 43resubcli 9319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  ( log `  2
) )  e.  RR
4544elexi 2925 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  ( log `  2
) )  e.  _V
4639, 5, 45fvmpt 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( G `  1 )  =  ( 1  -  ( log `  2
) ) )
4716, 46ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( G `
 1 )  =  ( 1  -  ( log `  2 ) )
4825, 47syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( i  =  1  ->  ( G `  i )  =  ( 1  -  ( log `  2
) ) )
4948breq1d 4182 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  (
( G `  i
)  <_  gamma  <->  ( 1  -  ( log `  2
) )  <_  gamma )
)
5049rspcva 3010 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A. i  e.  NN  ( G `  i )  <_ 
gamma )  ->  ( 1  -  ( log `  2
) )  <_  gamma )
5116, 24, 50sylancr 645 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1  -  ( log `  2 ) )  <_  gamma )
52 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  i  ->  ( F `  x )  =  ( F `  i ) )
5352negeqd 9256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  -u ( F `  x )  =  -u ( F `  i ) )
54 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x )
)  =  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x )
)
55 negex 9260 . . . . . . . . . . 11  |-  -u ( F `  i )  e.  _V
5653, 54, 55fvmpt 5765 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  i
)  =  -u ( F `  i )
)
5756adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  i
)  =  -u ( F `  i )
)
588simpli 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  ~~>  gamma
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  F  ~~>  gamma )
60 0cn 9040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  0  e.  CC )
62 nnex 9962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  e.  _V
6362mptex 5925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x )
)  e.  _V
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) )  e.  _V )
6511simpli 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F : NN
--> RR
6665ffvelrni 5828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6766adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6867recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
69 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
7069negeqd 9256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  -u ( F `  x )  =  -u ( F `  k ) )
71 negex 9260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u ( F `  k )  e.  _V
7270, 54, 71fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  =  -u ( F `  k )
)
7372adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  =  -u ( F `  k )
)
74 df-neg 9250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u ( F `  k )  =  ( 0  -  ( F `  k
) )
7573, 74syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  =  ( 0  -  ( F `  k ) ) )
761, 3, 59, 61, 64, 68, 75climsubc2 12387 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) )  ~~>  ( 0  -  gamma ) )
7776adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  (
x  e.  NN  |->  -u ( F `  x ) )  ~~>  ( 0  - 
gamma ) )
7867renegcld 9420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  -u ( F `  k )  e.  RR )
7973, 78eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  e.  RR )
8079adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  e.  RR )
8120simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
8281adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
83 peano2nn 9968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
8483adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
8565ffvelrni 5828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
8786, 67lenegd 9561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  <->  -u ( F `
 k )  <_  -u ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
8882, 87mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  -u ( F `  k )  <_ 
-u ( F `  ( k  +  1 ) ) )
89 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
9089negeqd 9256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  -u ( F `  x )  =  -u ( F `  ( k  +  1 ) ) )
91 negex 9260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  _V
9290, 54, 91fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  -u ( F `  ( k  +  1 ) ) )
9384, 92syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  -u ( F `  ( k  +  1 ) ) )
9488, 73, 933brtr4d 4202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  <_  ( (
x  e.  NN  |->  -u ( F `  x ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
9594adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  <_  ( (
x  e.  NN  |->  -u ( F `  x ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
961, 17, 77, 80, 95climub 12410 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  i
)  <_  ( 0  -  gamma ) )
9757, 96eqbrtrrd 4194 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  -u ( F `  i )  <_  ( 0  -  gamma ) )
98 df-neg 9250 . . . . . . . 8  |-  -u gamma  =  ( 0  -  gamma )
9997, 98syl6breqr 4212 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  -u ( F `  i )  <_ 
-u gamma )
10015trud 1329 . . . . . . . 8  |-  gamma  e.  RR
10165ffvelrni 5828 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN  ->  ( F `  i )  e.  RR )
102101adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
103 leneg 9487 . . . . . . . 8  |-  ( (
gamma  e.  RR  /\  ( F `  i )  e.  RR )  ->  ( gamma  <_  ( F `  i )  <->  -u ( F `
 i )  <_  -u
gamma ) )
104100, 102, 103sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( gamma  <_  ( F `  i )  <->  -u ( F `
 i )  <_  -u
gamma ) )
10599, 104mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  gamma  <_  ( F `  i )
)
106105ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  (  T. 
->  A. i  e.  NN  gamma  <_  ( F `  i
) )
107 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
1 ) )
108 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  n )  =  ( log `  1
) )
109 log1 20433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  1 )  =  0
110108, 109syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  n )  =  0 )
11134, 110oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n
) )  =  ( 1  -  0 ) )
11228subid1i 9328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  0 )  =  1
113111, 112syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n
) )  =  1 )
11440elexi 2925 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
115113, 4, 114fvmpt 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  =  1 )
11616, 115ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 1 )  =  1
117107, 116syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( i  =  1  ->  ( F `  i )  =  1 )
118117breq2d 4184 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  ( gamma  <_  ( F `  i )  <->  gamma  <_  1
) )
119118rspcva 3010 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A. i  e.  NN  gamma  <_ 
( F `  i
) )  ->  gamma  <_  1
)
12016, 106, 119sylancr 645 . . . 4  |-  (  T. 
->  gamma  <_  1 )
12144, 40elicc2i 10932 . . . 4  |-  ( gamma  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] 1
)  <->  ( gamma  e.  RR  /\  ( 1  -  ( log `  2 ) )  <_  gamma  /\  gamma  <_  1
) )
12215, 51, 120, 121syl3anbrc 1138 . . 3  |-  (  T. 
->  gamma  e.  ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] 1 ) )
123 ffn 5550 . . . . 5  |-  ( F : NN --> RR  ->  F  Fn  NN )
12465, 123mp1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  F  Fn  NN )
12517, 1syl6eleq 2494 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
126 elfznn 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... i )  ->  k  e.  NN )
127126adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... i
) )  ->  k  e.  NN )
128127, 66syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... i
) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
129 elfznn 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( i  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
130129adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
131130, 81syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
132125, 128, 131monoord2 11309 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  <_  ( F `  1
) )
133132, 116syl6breq 4211 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  <_  1 )
134100, 40elicc2i 10932 . . . . . 6  |-  ( ( F `  i )  e.  ( gamma [,] 1
)  <->  ( ( F `
 i )  e.  RR  /\  gamma  <_  ( F `  i )  /\  ( F `  i
)  <_  1 ) )
135102, 105, 133, 134syl3anbrc 1138 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  e.  ( gamma [,] 1 ) )
136135ralrimiva 2749 . . . 4  |-  (  T. 
->  A. i  e.  NN  ( F `  i )  e.  ( gamma [,] 1
) )
137 ffnfv 5853 . . . 4  |-  ( F : NN --> ( gamma [,] 1 )  <->  ( F  Fn  NN  /\  A. i  e.  NN  ( F `  i )  e.  (
gamma [,] 1 ) ) )
138124, 136, 137sylanbrc 646 . . 3  |-  (  T. 
->  F : NN --> ( gamma [,] 1 ) )
139 ffn 5550 . . . . 5  |-  ( G : NN --> RR  ->  G  Fn  NN )
14012, 139mp1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  G  Fn  NN )
14112ffvelrni 5828 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  ->  ( G `  i )  e.  RR )
142141adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( G `  i )  e.  RR )
143127, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... i
) )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
144130, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
145125, 143, 144monoord 11308 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( G `  1 )  <_  ( G `  i
) )
14647, 145syl5eqbrr 4206 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  (
1  -  ( log `  2 ) )  <_  ( G `  i ) )
14744, 100elicc2i 10932 . . . . . 6  |-  ( ( G `  i )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] gamma )  <-> 
( ( G `  i )  e.  RR  /\  ( 1  -  ( log `  2 ) )  <_  ( G `  i )  /\  ( G `  i )  <_ 
gamma ) )
148142, 146, 23, 147syl3anbrc 1138 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( G `  i )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] gamma ) )
149148ralrimiva 2749 . . . 4  |-  (  T. 
->  A. i  e.  NN  ( G `  i )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] gamma ) )
150 ffnfv 5853 . . . 4  |-  ( G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma )  <->  ( G  Fn  NN  /\  A. i  e.  NN  ( G `  i )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) ) )
151140, 149, 150sylanbrc 646 . . 3  |-  (  T. 
->  G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) )
152122, 138, 1513jca 1134 . 2  |-  (  T. 
->  ( gamma  e.  (
( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] 1 )  /\  F : NN --> ( gamma [,] 1 )  /\  G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] gamma ) ) )
153152trud 1329 1  |-  ( gamma  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] 1
)  /\  F : NN
--> ( gamma [,] 1 )  /\  G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   [,]cicc 10875   ...cfz 10999    ~~> cli 12233   sum_csu 12434   logclog 20405   gammacem 20783
This theorem is referenced by:  emcl  20794  harmonicbnd  20795  harmonicbnd2  20796
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-em 20784
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