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Theorem emcllem6 23528
Description: Lemma for emcl 23530. By the previous lemmas,  F and  G must approach a common limit, which is  gamma by definition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
emcl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
emcl.4  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem6  |-  ( F  ~~> 
gamma  /\  G  ~~>  gamma )
Distinct variable groups:    m, H    m, n, T
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)    H( n)

Proof of Theorem emcllem6
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11117 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10891 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 oveq2 6278 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
43oveq2d 6286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )
54fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
63, 5oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  n
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) ) ) )
7 emcl.4 . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
8 ovex 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  _V
96, 7, 8fvmpt 5931 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( T `  k )  =  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
109adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( T `  k )  =  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
11 nnrecre 10568 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
1211adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
13 1rp 11225 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
14 nnrp 11230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
1514rpreccld 11269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
1615adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
17 rpaddcl 11242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
1  /  k )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR+ )
1813, 16, 17sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR+ )
1918relogcld 23176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  e.  RR )
2012, 19resubcld 9983 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  RR )
2120recnd 9611 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  CC )
22 emcl.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
23 emcl.2 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
24 emcl.3 . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
2522, 23, 24, 7emcllem5 23527 . . . . . . . . 9  |-  G  =  seq 1 (  +  ,  T )
2622, 23emcllem1 23523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : NN --> RR  /\  G : NN --> RR )
2726simpri 460 . . . . . . . . . . 11  |-  G : NN
--> RR
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  G : NN --> RR )
2922, 23emcllem2 23524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )
3029simprd 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
3130adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
32 1nn 10542 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
3326simpli 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F : NN
--> RR
3433ffvelrni 6006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 1 )  e.  RR
3627ffvelrni 6006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  e.  RR )
3736adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
3833ffvelrni 6006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  RR )
3938adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
4035a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
41 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) )  e.  _V
425, 24, 41fvmpt 5931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
4342adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
4422, 23, 24emcllem3 23525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
4544adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
4643, 45eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )
47 1re 9584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
48 readdcl 9564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( 1  /  k
) )  e.  RR )
4947, 12, 48sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR )
50 ltaddrp 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) )
5147, 16, 50sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) )
5249, 51rplogcld 23182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  e.  RR+ )
5346, 52eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR+ )
5453rpge0d 11263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )
5539, 37subge0d 10138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  k )
) )
5654, 55mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
57 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
5857breq1d 4449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  1 )  <_ 
( F `  1
) ) )
59 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
6059breq1d 4449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
61 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
6261breq1d 4449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
6335leidi 10083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 1 )  <_ 
( F `  1
)
6429simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
65 peano2nn 10543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
6633ffvelrni 6006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6835a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
69 letr 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `  1 )  e.  RR )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k
)  <_  ( F `  1 ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
7067, 38, 68, 69syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k
)  <_  ( F `  1 ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
7164, 70mpand 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  <_  ( F `  1 )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 ) ) )
7258, 60, 62, 60, 63, 71nnind 10549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  1
) )
7372adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  1
) )
7437, 39, 40, 56, 73letrd 9728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  1
) )
7574ralrimiva 2868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F ` 
1 ) )
76 breq2 4443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( F ` 
1 )  ->  (
( G `  k
)  <_  x  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
7776ralbidv 2893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( F ` 
1 )  ->  ( A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x  <->  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
7877rspcev 3207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  1
)  e.  RR  /\  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F `  1
) )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x
)
7935, 75, 78sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x )
801, 2, 28, 31, 79climsup 13574 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  G  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
8125, 80syl5eqbrr 4473 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  T )  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
82 climrel 13397 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ~~>
8382releldmi 5228 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  +  ,  T )  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  ->  seq 1
(  +  ,  T
)  e.  dom  ~~>  )
8481, 83syl 16 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
851, 2, 10, 21, 84isumclim2 13655 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  T )  ~~>  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
86 df-em 23520 . . . . . 6  |-  gamma  =  sum_ k  e.  NN  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
8785, 25, 863brtr4g 4471 . . . . 5  |-  ( T. 
->  G  ~~>  gamma )
88 nnex 10537 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
8988mptex 6118 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n ) ) )  e.  _V
9022, 89eqeltri 2538 . . . . . 6  |-  F  e. 
_V
9190a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  F  e.  _V )
9222, 23, 24emcllem4 23526 . . . . . 6  |-  H  ~~>  0
9392a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  H  ~~>  0 )
9437recnd 9611 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
9539, 37resubcld 9983 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR )
9645, 95eqeltrd 2542 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  RR )
9796recnd 9611 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  CC )
9845oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  +  ( H `
 k ) )  =  ( ( G `
 k )  +  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ) )
9939recnd 9611 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
10094, 99pncan3d 9925 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  +  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  =  ( F `  k ) )
10198, 100eqtr2d 2496 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( ( G `
 k )  +  ( H `  k
) ) )
1021, 2, 87, 91, 93, 94, 97, 101climadd 13536 . . . 4  |-  ( T. 
->  F  ~~>  ( gamma  +  0 ) )
10387trud 1407 . . . . . 6  |-  G  ~~>  gamma
104 climcl 13404 . . . . . 6  |-  ( G  ~~> 
gamma  ->  gamma  e.  CC )
105103, 104ax-mp 5 . . . . 5  |-  gamma  e.  CC
106105addid1i 9756 . . . 4  |-  ( gamma  +  0 )  = 
gamma
107102, 106syl6breq 4478 . . 3  |-  ( T. 
->  F  ~~>  gamma )
108107trud 1407 . 2  |-  F  ~~>  gamma
109108, 103pm3.2i 453 1  |-  ( F  ~~> 
gamma  /\  G  ~~>  gamma )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398   T. wtru 1399    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   ran crn 4989   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   supcsup 7892   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   NNcn 10531   RR+crp 11221   ...cfz 11675    seqcseq 12089    ~~> cli 13389   sum_csu 13590   logclog 23108   gammacem 23519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-em 23520
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