MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem6 Structured version   Unicode version

Theorem emcllem6 23173
Description: Lemma for emcl 23175. By the previous lemmas,  F and  G must approach a common limit, which is  gamma by definition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
emcl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
emcl.4  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem6  |-  ( F  ~~> 
gamma  /\  G  ~~>  gamma )
Distinct variable groups:    m, H    m, n, T
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)    H( n)

Proof of Theorem emcllem6
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11127 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10905 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 oveq2 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
43oveq2d 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )
54fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
63, 5oveq12d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  n
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) ) ) )
7 emcl.4 . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
8 ovex 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  _V
96, 7, 8fvmpt 5956 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( T `  k )  =  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
109adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( T `  k )  =  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
11 nnrecre 10582 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
1211adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
13 1rp 11234 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
14 nnrp 11239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
1514rpreccld 11276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
1615adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
17 rpaddcl 11250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
1  /  k )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR+ )
1813, 16, 17sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR+ )
1918relogcld 22851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  e.  RR )
2012, 19resubcld 9997 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  RR )
2120recnd 9632 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  CC )
22 emcl.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
23 emcl.2 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
24 emcl.3 . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
2522, 23, 24, 7emcllem5 23172 . . . . . . . . 9  |-  G  =  seq 1 (  +  ,  T )
2622, 23emcllem1 23168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : NN --> RR  /\  G : NN --> RR )
2726simpri 462 . . . . . . . . . . 11  |-  G : NN
--> RR
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  G : NN --> RR )
2922, 23emcllem2 23169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )
3029simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
3130adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
32 1nn 10557 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
3326simpli 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F : NN
--> RR
3433ffvelrni 6030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 1 )  e.  RR
3627ffvelrni 6030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  e.  RR )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
3833ffvelrni 6030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  RR )
3938adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
4035a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
41 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) )  e.  _V
425, 24, 41fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
4422, 23, 24emcllem3 23170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
4643, 45eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )
47 1re 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
48 readdcl 9585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( 1  /  k
) )  e.  RR )
4947, 12, 48sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR )
50 ltaddrp 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) )
5147, 16, 50sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) )
5249, 51rplogcld 22857 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  e.  RR+ )
5346, 52eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR+ )
5453rpge0d 11270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )
5539, 37subge0d 10152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  k )
) )
5654, 55mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
57 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
5857breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  1 )  <_ 
( F `  1
) ) )
59 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
6059breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
61 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
6261breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
6335leidi 10097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 1 )  <_ 
( F `  1
)
6429simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
65 peano2nn 10558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
6633ffvelrni 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6835a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
69 letr 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `  1 )  e.  RR )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k
)  <_  ( F `  1 ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
7067, 38, 68, 69syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k
)  <_  ( F `  1 ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
7164, 70mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  <_  ( F `  1 )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 ) ) )
7258, 60, 62, 60, 63, 71nnind 10564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  1
) )
7372adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  1
) )
7437, 39, 40, 56, 73letrd 9748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  1
) )
7574ralrimiva 2881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F ` 
1 ) )
76 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( F ` 
1 )  ->  (
( G `  k
)  <_  x  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
7776ralbidv 2906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( F ` 
1 )  ->  ( A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x  <->  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
7877rspcev 3219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  1
)  e.  RR  /\  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F `  1
) )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x
)
7935, 75, 78sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x )
801, 2, 28, 31, 79climsup 13467 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  G  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
8125, 80syl5eqbrr 4486 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  T )  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
82 climrel 13290 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ~~>
8382releldmi 5244 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  +  ,  T )  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  ->  seq 1
(  +  ,  T
)  e.  dom  ~~>  )
8481, 83syl 16 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
851, 2, 10, 21, 84isumclim2 13548 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  T )  ~~>  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
86 df-em 23165 . . . . . 6  |-  gamma  =  sum_ k  e.  NN  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
8785, 25, 863brtr4g 4484 . . . . 5  |-  ( T. 
->  G  ~~>  gamma )
88 nnex 10552 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
8988mptex 6141 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n ) ) )  e.  _V
9022, 89eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  F  e. 
_V
9190a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  F  e.  _V )
9222, 23, 24emcllem4 23171 . . . . . 6  |-  H  ~~>  0
9392a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  H  ~~>  0 )
9437recnd 9632 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
9539, 37resubcld 9997 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR )
9645, 95eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  RR )
9796recnd 9632 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  CC )
9845oveq2d 6310 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  +  ( H `
 k ) )  =  ( ( G `
 k )  +  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ) )
9939recnd 9632 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
10094, 99pncan3d 9943 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  +  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  =  ( F `  k ) )
10198, 100eqtr2d 2509 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( ( G `
 k )  +  ( H `  k
) ) )
1021, 2, 87, 91, 93, 94, 97, 101climadd 13429 . . . 4  |-  ( T. 
->  F  ~~>  ( gamma  +  0 ) )
10387trud 1388 . . . . . 6  |-  G  ~~>  gamma
104 climcl 13297 . . . . . 6  |-  ( G  ~~> 
gamma  ->  gamma  e.  CC )
105103, 104ax-mp 5 . . . . 5  |-  gamma  e.  CC
106105addid1i 9776 . . . 4  |-  ( gamma  +  0 )  = 
gamma
107102, 106syl6breq 4491 . . 3  |-  ( T. 
->  F  ~~>  gamma )
108107trud 1388 . 2  |-  F  ~~>  gamma
109108, 103pm3.2i 455 1  |-  ( F  ~~> 
gamma  /\  G  ~~>  gamma )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   class class class wbr 4452    |-> cmpt 4510   dom cdm 5004   ran crn 5005   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   supcsup 7910   CCcc 9500   RRcr 9501   0cc0 9502   1c1 9503    + caddc 9505    < clt 9638    <_ cle 9639    - cmin 9815    / cdiv 10216   NNcn 10546   RR+crp 11230   ...cfz 11682    seqcseq 12085    ~~> cli 13282   sum_csu 13483   logclog 22785   gammacem 23164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580  ax-addf 9581  ax-mulf 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-fi 7881  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ioc 11544  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-fl 11907  df-mod 11975  df-seq 12086  df-exp 12145  df-fac 12332  df-bc 12359  df-hash 12384  df-shft 12875  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-limsup 13269  df-clim 13286  df-rlim 13287  df-sum 13484  df-ef 13677  df-sin 13679  df-cos 13680  df-pi 13682  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-starv 14582  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-unif 14590  df-hom 14591  df-cco 14592  df-rest 14690  df-topn 14691  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-topgen 14711  df-pt 14712  df-prds 14715  df-xrs 14769  df-qtop 14774  df-imas 14775  df-xps 14777  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-submnd 15820  df-mulg 15909  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-psmet 18258  df-xmet 18259  df-met 18260  df-bl 18261  df-mopn 18262  df-fbas 18263  df-fg 18264  df-cnfld 18268  df-top 19245  df-bases 19247  df-topon 19248  df-topsp 19249  df-cld 19365  df-ntr 19366  df-cls 19367  df-nei 19444  df-lp 19482  df-perf 19483  df-cn 19573  df-cnp 19574  df-haus 19661  df-tx 19908  df-hmeo 20101  df-fil 20192  df-fm 20284  df-flim 20285  df-flf 20286  df-xms 20668  df-ms 20669  df-tms 20670  df-cncf 21227  df-limc 22115  df-dv 22116  df-log 22787  df-em 23165
This theorem is referenced by:  emcllem7  23174
  Copyright terms: Public domain W3C validator