MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem6 Unicode version

Theorem emcllem6 20792
Description: Lemma for emcl 20794. By the previous lemmas,  F and  G must approach a common limit, which is  gamma by definition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
emcl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
emcl.4  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem6  |-  ( F  ~~> 
gamma  /\  G  ~~>  gamma )
Distinct variable groups:    m, H    m, n, T
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)    H( n)

Proof of Theorem emcllem6
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10477 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10267 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
54oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )
65fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
74, 6oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  n
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) ) ) )
8 emcl.4 . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
9 ovex 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  _V
107, 8, 9fvmpt 5765 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( T `  k )  =  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
1110adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( T `  k )  =  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
12 nnrecre 9992 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
1312adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
14 1rp 10572 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
15 nnrp 10577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
1615rpreccld 10614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
1716adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
18 rpaddcl 10588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
1  /  k )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR+ )
1914, 17, 18sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR+ )
2019relogcld 20471 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  e.  RR )
2113, 20resubcld 9421 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  RR )
2221recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  CC )
23 emcl.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
24 emcl.2 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
25 emcl.3 . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
2623, 24, 25, 8emcllem5 20791 . . . . . . . . 9  |-  G  =  seq  1 (  +  ,  T )
2723, 24emcllem1 20787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : NN --> RR  /\  G : NN --> RR )
2827simpri 449 . . . . . . . . . . 11  |-  G : NN
--> RR
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  G : NN --> RR )
3023, 24emcllem2 20788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )
3130simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
3231adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
33 1nn 9967 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
3427simpli 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F : NN
--> RR
3534ffvelrni 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
3633, 35ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 1 )  e.  RR
3728ffvelrni 5828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  e.  RR )
3837adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
3934ffvelrni 5828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  RR )
4039adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
4136a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
42 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) )  e.  _V
436, 25, 42fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
4443adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
4523, 24, 25emcllem3 20789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
4645adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
4744, 46eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )
48 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
49 readdcl 9029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( 1  /  k
) )  e.  RR )
5048, 13, 49sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR )
51 ltaddrp 10600 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) )
5248, 17, 51sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) )
5350, 52rplogcld 20477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  e.  RR+ )
5447, 53eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR+ )
5554rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )
5640, 38subge0d 9572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  k )
) )
5755, 56mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
58 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
5958breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  1 )  <_ 
( F `  1
) ) )
60 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
6160breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
62 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
6362breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
6436leidi 9517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 1 )  <_ 
( F `  1
)
6530simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
66 peano2nn 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
6734ffvelrni 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6936a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
70 letr 9123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `  1 )  e.  RR )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k
)  <_  ( F `  1 ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
7168, 39, 69, 70syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k
)  <_  ( F `  1 ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
7265, 71mpand 657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  <_  ( F `  1 )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 ) ) )
7359, 61, 63, 61, 64, 72nnind 9974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  1
) )
7473adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  1
) )
7538, 40, 41, 57, 74letrd 9183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  1
) )
7675ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F ` 
1 ) )
77 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( F ` 
1 )  ->  (
( G `  k
)  <_  x  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
7877ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( F ` 
1 )  ->  ( A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x  <->  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
7978rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  1
)  e.  RR  /\  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F `  1
) )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x
)
8036, 76, 79sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x )
811, 3, 29, 32, 80climsup 12418 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  G  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
8226, 81syl5eqbrr 4206 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  T )  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
83 climrel 12241 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ~~>
8483releldmi 5065 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  +  ,  T )  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  ->  seq  1
(  +  ,  T
)  e.  dom  ~~>  )
8582, 84syl 16 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
861, 3, 11, 22, 85isumclim2 12497 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  T )  ~~>  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
87 df-em 20784 . . . . . 6  |-  gamma  =  sum_ k  e.  NN  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
8886, 26, 873brtr4g 4204 . . . . 5  |-  (  T. 
->  G  ~~>  gamma )
89 nnex 9962 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
9089mptex 5925 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n ) ) )  e.  _V
9123, 90eqeltri 2474 . . . . . 6  |-  F  e. 
_V
9291a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  F  e.  _V )
9323, 24, 25emcllem4 20790 . . . . . 6  |-  H  ~~>  0
9493a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  H  ~~>  0 )
9538recnd 9070 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
9640, 38resubcld 9421 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR )
9746, 96eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  RR )
9897recnd 9070 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  CC )
9946oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  +  ( H `
 k ) )  =  ( ( G `
 k )  +  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ) )
10040recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
10195, 100pncan3d 9370 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  +  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  =  ( F `  k ) )
10299, 101eqtr2d 2437 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( ( G `
 k )  +  ( H `  k
) ) )
1031, 3, 88, 92, 94, 95, 98, 102climadd 12380 . . . 4  |-  (  T. 
->  F  ~~>  ( gamma  +  0 ) )
10488trud 1329 . . . . . 6  |-  G  ~~>  gamma
105 climcl 12248 . . . . . 6  |-  ( G  ~~> 
gamma  ->  gamma  e.  CC )
106104, 105ax-mp 8 . . . . 5  |-  gamma  e.  CC
107106addid1i 9209 . . . 4  |-  ( gamma  +  0 )  = 
gamma
108103, 107syl6breq 4211 . . 3  |-  (  T. 
->  F  ~~>  gamma )
109108trud 1329 . 2  |-  F  ~~>  gamma
110109, 104pm3.2i 442 1  |-  ( F  ~~> 
gamma  /\  G  ~~>  gamma )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   ZZcz 10238   RR+crp 10568   ...cfz 10999    seq cseq 11278    ~~> cli 12233   sum_csu 12434   logclog 20405   gammacem 20783
This theorem is referenced by:  emcllem7  20793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-em 20784
  Copyright terms: Public domain W3C validator