MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem6 Structured version   Unicode version

Theorem emcllem6 23195
Description: Lemma for emcl 23197. By the previous lemmas,  F and  G must approach a common limit, which is  gamma by definition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
emcl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
emcl.4  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem6  |-  ( F  ~~> 
gamma  /\  G  ~~>  gamma )
Distinct variable groups:    m, H    m, n, T
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)    H( n)

Proof of Theorem emcllem6
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11120 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10896 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 oveq2 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
43oveq2d 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )
54fveq2d 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
63, 5oveq12d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  n
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) ) ) )
7 emcl.4 . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
8 ovex 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  _V
96, 7, 8fvmpt 5937 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( T `  k )  =  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
109adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( T `  k )  =  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
11 nnrecre 10573 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
1211adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
13 1rp 11228 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
14 nnrp 11233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
1514rpreccld 11270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
1615adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
17 rpaddcl 11244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
1  /  k )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR+ )
1813, 16, 17sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR+ )
1918relogcld 22873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  e.  RR )
2012, 19resubcld 9988 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  RR )
2120recnd 9620 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  CC )
22 emcl.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
23 emcl.2 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
24 emcl.3 . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
2522, 23, 24, 7emcllem5 23194 . . . . . . . . 9  |-  G  =  seq 1 (  +  ,  T )
2622, 23emcllem1 23190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : NN --> RR  /\  G : NN --> RR )
2726simpri 462 . . . . . . . . . . 11  |-  G : NN
--> RR
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  G : NN --> RR )
2922, 23emcllem2 23191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )
3029simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
3130adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
32 1nn 10548 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
3326simpli 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F : NN
--> RR
3433ffvelrni 6011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 1 )  e.  RR
3627ffvelrni 6011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  e.  RR )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
3833ffvelrni 6011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  RR )
3938adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
4035a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
41 fvex 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) )  e.  _V
425, 24, 41fvmpt 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
4422, 23, 24emcllem3 23192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
4643, 45eqtr3d 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )
47 1re 9593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
48 readdcl 9573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( 1  /  k
) )  e.  RR )
4947, 12, 48sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR )
50 ltaddrp 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) )
5147, 16, 50sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) )
5249, 51rplogcld 22879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  e.  RR+ )
5346, 52eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR+ )
5453rpge0d 11264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )
5539, 37subge0d 10143 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  k )
) )
5654, 55mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
57 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
5857breq1d 4443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  1 )  <_ 
( F `  1
) ) )
59 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
6059breq1d 4443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
61 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
6261breq1d 4443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
6335leidi 10088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 1 )  <_ 
( F `  1
)
6429simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
65 peano2nn 10549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
6633ffvelrni 6011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6835a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
69 letr 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `  1 )  e.  RR )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k
)  <_  ( F `  1 ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
7067, 38, 68, 69syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k
)  <_  ( F `  1 ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
7164, 70mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  <_  ( F `  1 )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 ) ) )
7258, 60, 62, 60, 63, 71nnind 10555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  1
) )
7372adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  1
) )
7437, 39, 40, 56, 73letrd 9737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  1
) )
7574ralrimiva 2855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F ` 
1 ) )
76 breq2 4437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( F ` 
1 )  ->  (
( G `  k
)  <_  x  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
7776ralbidv 2880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( F ` 
1 )  ->  ( A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x  <->  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
7877rspcev 3194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  1
)  e.  RR  /\  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F `  1
) )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x
)
7935, 75, 78sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x )
801, 2, 28, 31, 79climsup 13466 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  G  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
8125, 80syl5eqbrr 4467 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  T )  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
82 climrel 13289 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ~~>
8382releldmi 5225 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  +  ,  T )  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  ->  seq 1
(  +  ,  T
)  e.  dom  ~~>  )
8481, 83syl 16 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
851, 2, 10, 21, 84isumclim2 13547 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  T )  ~~>  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
86 df-em 23187 . . . . . 6  |-  gamma  =  sum_ k  e.  NN  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
8785, 25, 863brtr4g 4465 . . . . 5  |-  ( T. 
->  G  ~~>  gamma )
88 nnex 10543 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
8988mptex 6124 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n ) ) )  e.  _V
9022, 89eqeltri 2525 . . . . . 6  |-  F  e. 
_V
9190a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  F  e.  _V )
9222, 23, 24emcllem4 23193 . . . . . 6  |-  H  ~~>  0
9392a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  H  ~~>  0 )
9437recnd 9620 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
9539, 37resubcld 9988 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR )
9645, 95eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  RR )
9796recnd 9620 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  CC )
9845oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  +  ( H `
 k ) )  =  ( ( G `
 k )  +  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ) )
9939recnd 9620 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
10094, 99pncan3d 9934 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  +  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  =  ( F `  k ) )
10198, 100eqtr2d 2483 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( ( G `
 k )  +  ( H `  k
) ) )
1021, 2, 87, 91, 93, 94, 97, 101climadd 13428 . . . 4  |-  ( T. 
->  F  ~~>  ( gamma  +  0 ) )
10387trud 1390 . . . . . 6  |-  G  ~~>  gamma
104 climcl 13296 . . . . . 6  |-  ( G  ~~> 
gamma  ->  gamma  e.  CC )
105103, 104ax-mp 5 . . . . 5  |-  gamma  e.  CC
106105addid1i 9765 . . . 4  |-  ( gamma  +  0 )  = 
gamma
107102, 106syl6breq 4472 . . 3  |-  ( T. 
->  F  ~~>  gamma )
108107trud 1390 . 2  |-  F  ~~>  gamma
109108, 103pm3.2i 455 1  |-  ( F  ~~> 
gamma  /\  G  ~~>  gamma )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381   T. wtru 1382    e. wcel 1802   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491   dom cdm 4985   ran crn 4986   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   supcsup 7898   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9805    / cdiv 10207   NNcn 10537   RR+crp 11224   ...cfz 11676    seqcseq 12081    ~~> cli 13281   sum_csu 13482   logclog 22807   gammacem 23186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ioc 11538  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-bc 12355  df-hash 12380  df-shft 12874  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-limsup 13268  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-ef 13676  df-sin 13678  df-cos 13679  df-pi 13681  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137  df-log 22809  df-em 23187
This theorem is referenced by:  emcllem7  23196
  Copyright terms: Public domain W3C validator