Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem5 Structured version   Unicode version

Theorem emcllem5 23912
 Description: Lemma for emcl 23915. The partial sums of the series , which is used in the definition df-em 23905, is in fact the same as . (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1
emcl.2
emcl.3
emcl.4
Assertion
Ref Expression
emcllem5
Distinct variable groups:   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem emcllem5
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznn 11829 . . . . . . . . . . . . 13
21adantl 467 . . . . . . . . . . . 12
32nncnd 10626 . . . . . . . . . . 11
4 1cnd 9660 . . . . . . . . . . 11
52nnne0d 10655 . . . . . . . . . . 11
63, 4, 3, 5divdird 10422 . . . . . . . . . 10
73, 5dividd 10382 . . . . . . . . . . 11
87oveq1d 6317 . . . . . . . . . 10
96, 8eqtrd 2463 . . . . . . . . 9
109fveq2d 5882 . . . . . . . 8
11 peano2nn 10622 . . . . . . . . . . 11
122, 11syl 17 . . . . . . . . . 10
1312nnrpd 11340 . . . . . . . . 9
142nnrpd 11340 . . . . . . . . 9
1513, 14relogdivd 23562 . . . . . . . 8
1610, 15eqtr3d 2465 . . . . . . 7
1716sumeq2dv 13757 . . . . . 6
18 fveq2 5878 . . . . . . 7
19 fveq2 5878 . . . . . . 7
20 fveq2 5878 . . . . . . 7
21 fveq2 5878 . . . . . . 7
22 nnz 10960 . . . . . . 7
23 peano2nn 10622 . . . . . . . 8
24 nnuz 11195 . . . . . . . 8
2523, 24syl6eleq 2520 . . . . . . 7
26 elfznn 11829 . . . . . . . . . . 11
2726adantl 467 . . . . . . . . . 10
2827nnrpd 11340 . . . . . . . . 9
2928relogcld 23559 . . . . . . . 8
3029recnd 9670 . . . . . . 7
3118, 19, 20, 21, 22, 25, 30telfsum2 13853 . . . . . 6
32 log1 23522 . . . . . . . 8
3332oveq2i 6313 . . . . . . 7
3423nnrpd 11340 . . . . . . . . . 10
3534relogcld 23559 . . . . . . . . 9
3635recnd 9670 . . . . . . . 8
3736subid1d 9976 . . . . . . 7
3833, 37syl5eq 2475 . . . . . 6
3917, 31, 383eqtrd 2467 . . . . 5
4039oveq2d 6318 . . . 4
41 fzfid 12186 . . . . . 6
422nnrecred 10656 . . . . . . 7
4342recnd 9670 . . . . . 6
44 1rp 11307 . . . . . . . . 9
4514rpreccld 11352 . . . . . . . . 9
46 rpaddcl 11324 . . . . . . . . 9
4744, 45, 46sylancr 667 . . . . . . . 8
4847relogcld 23559 . . . . . . 7
4948recnd 9670 . . . . . 6
5041, 43, 49fsumsub 13837 . . . . 5
51 oveq2 6310 . . . . . . . . 9
5251oveq2d 6318 . . . . . . . . . 10
5352fveq2d 5882 . . . . . . . . 9
5451, 53oveq12d 6320 . . . . . . . 8
55 emcl.4 . . . . . . . 8
56 ovex 6330 . . . . . . . 8
5754, 55, 56fvmpt 5961 . . . . . . 7
582, 57syl 17 . . . . . 6
59 id 23 . . . . . . 7
6059, 24syl6eleq 2520 . . . . . 6
6142, 48resubcld 10048 . . . . . . 7
6261recnd 9670 . . . . . 6
6358, 60, 62fsumser 13784 . . . . 5
6450, 63eqtr3d 2465 . . . 4
6540, 64eqtr3d 2465 . . 3
6665mpteq2ia 4503 . 2
67 emcl.2 . 2
68 1z 10968 . . . . 5
69 seqfn 12225 . . . . 5
7068, 69ax-mp 5 . . . 4
7124fneq2i 5686 . . . 4
7270, 71mpbir 212 . . 3
73 dffn5 5923 . . 3
7472, 73mpbi 211 . 2
7566, 67, 743eqtr4i 2461 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wa 370   wceq 1437   wcel 1868   cmpt 4479   wfn 5593  cfv 5598  (class class class)co 6302  cc0 9540  c1 9541   caddc 9543   cmin 9861   cdiv 10270  cn 10610  cz 10938  cuz 11160  crp 11303  cfz 11785   cseq 12213  csu 13740  clog 23491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-ioc 11641  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13119  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-limsup 13514  df-clim 13540  df-rlim 13541  df-sum 13741  df-ef 14109  df-sin 14111  df-cos 14112  df-pi 14114  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-mulg 16664  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-fbas 18955  df-fg 18956  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-lp 20139  df-perf 20140  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-haus 20318  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-fil 20848  df-fm 20940  df-flim 20941  df-flf 20942  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-cncf 21897  df-limc 22808  df-dv 22809  df-log 23493 This theorem is referenced by:  emcllem6  23913
 Copyright terms: Public domain W3C validator