MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem4 Structured version   Unicode version

Theorem emcllem4 23454
Description: Lemma for emcl 23458. The difference between series  F and  G tends to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
emcl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem4  |-  H  ~~>  0
Distinct variable groups:    m, H    m, n
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)    H( n)

Proof of Theorem emcllem4
StepHypRef Expression
1 nnuz 11141 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10916 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 ax-1cn 9567 . . . 4  |-  1  e.  CC
4 divcnv 13677 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
53, 4mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
6 emcl.3 . . . . 5  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
7 nnex 10562 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
87mptex 6144 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )  e. 
_V
96, 8eqeltri 2541 . . . 4  |-  H  e. 
_V
109a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  H  e.  _V )
11 oveq2 6304 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  /  m ) )
12 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
13 ovex 6324 . . . . . 6  |-  ( 1  /  m )  e. 
_V
1411, 12, 13fvmpt 5956 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  m
)  =  ( 1  /  m ) )
1514adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  m
)  =  ( 1  /  m ) )
16 nnrecre 10593 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
1716adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
1815, 17eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  m
)  e.  RR )
1911oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )
2019fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) ) )
21 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )  e.  _V
2220, 6, 21fvmpt 5956 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  ( H `  m )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) ) )
2322adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) ) )
24 1rp 11249 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
25 nnrp 11254 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR+ )
2625adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
2726rpreccld 11291 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  /  m )  e.  RR+ )
28 rpaddcl 11265 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
1  /  m )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )
2924, 27, 28sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )
3029rpred 11281 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR )
31 1re 9612 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
32 ltaddrp 11277 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  m
)  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )
3331, 27, 32sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )
3430, 33rplogcld 23140 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  e.  RR+ )
3523, 34eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  e.  RR+ )
3635rpred 11281 . . 3  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  e.  RR )
3729relogcld 23134 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  e.  RR )
38 efgt1p 13862 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  m )  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  m ) )  < 
( exp `  (
1  /  m ) ) )
3927, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  <  ( exp `  (
1  /  m ) ) )
4017rpefcld 13852 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( exp `  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )
41 logltb 23110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR+  /\  ( exp `  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  m ) )  <  ( exp `  (
1  /  m ) )  <->  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) )  <  ( log `  ( exp `  (
1  /  m ) ) ) ) )
4229, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
( 1  +  ( 1  /  m ) )  <  ( exp `  ( 1  /  m
) )  <->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )  <  ( log `  ( exp `  (
1  /  m ) ) ) ) )
4339, 42mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  < 
( log `  ( exp `  ( 1  /  m ) ) ) )
4417relogefd 23139 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( exp `  (
1  /  m ) ) )  =  ( 1  /  m ) )
4543, 44breqtrd 4480 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  < 
( 1  /  m
) )
4637, 17, 45ltled 9750 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  <_ 
( 1  /  m
) )
4746, 23, 153brtr4d 4486 . . 3  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  m ) )
4835rpge0d 11285 . . 3  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  0  <_  ( H `  m
) )
491, 2, 5, 10, 18, 36, 47, 48climsqz2 13476 . 2  |-  ( T. 
->  H  ~~>  0 )
5049trud 1404 1  |-  H  ~~>  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   RR+crp 11245   ...cfz 11697    ~~> cli 13319   sum_csu 13520   expce 13809   logclog 23068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070
This theorem is referenced by:  emcllem6  23456
  Copyright terms: Public domain W3C validator