Theorem emcllem4 22535

Description: Lemma for emcl 22539. The difference between series F and G tends to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
emcl.1	|- F = ( n e. NN |-> ( sum_ m e. ( 1 ... n ) ( 1 / m ) - ( log ` n ) ) )
emcl.2	|- G = ( n e. NN |-> ( sum_ m e. ( 1 ... n ) ( 1 / m ) - ( log ` ( n + 1 ) ) ) )
emcl.3	|- H = ( n e. NN |-> ( log ` ( 1 + ( 1 / n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
emcllem4	|- H ~~> 0

Distinct variable groups:   m, H   m, n

Allowed substitution hints:   F( m, n)   G( m, n)   H( n)

Proof of Theorem emcllem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11011	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 10792	. . 3 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
3		ax-1cn 9455	. . . 4 |- 1 e. CC
4		divcnv 13438	. . . 4 |- ( 1 e. CC -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
5	3, 4	mp1i 12	. . 3 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
6		emcl.3	. . . . 5 |- H = ( n e. NN |-> ( log ` ( 1 + ( 1 / n ) ) ) )
7		nnex 10443	. . . . . 6 |- NN e. _V
8	7	mptex 6060	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( log ` ( 1 + ( 1 / n ) ) ) ) e. _V
9	6, 8	eqeltri 2538	. . . 4 |- H e. _V
10	9	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> H e. _V )
11		oveq2 6211	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( 1 / n ) = ( 1 / m ) )
12		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / n ) )
13		ovex 6228	. . . . . 6 |- ( 1 / m ) e. _V
14	11, 12, 13	fvmpt 5886	. . . . 5 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` m ) = ( 1 / m ) )
15	14	adantl 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` m ) = ( 1 / m ) )
16		nnrecre 10473	. . . . 5 |- ( m e. NN -> ( 1 / m ) e. RR )
17	16	adantl 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 / m ) e. RR )
18	15, 17	eqeltrd 2542	. . 3 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` m ) e. RR )
19	11	oveq2d 6219	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( 1 + ( 1 / n ) ) = ( 1 + ( 1 / m ) ) )
20	19	fveq2d 5806	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( log ` ( 1 + ( 1 / n ) ) ) = ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) )
21		fvex 5812	. . . . . . 7 |- ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) e. _V
22	20, 6, 21	fvmpt 5886	. . . . . 6 |- ( m e. NN -> ( H ` m ) = ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) )
23	22	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) = ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) )
24		1rp 11110	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR+
25		nnrp 11115	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> m e. RR+ )
26	25	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> m e. RR+ )
27	26	rpreccld 11152	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 / m ) e. RR+ )
28		rpaddcl 11126	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( 1 / m ) e. RR+ ) -> ( 1 + ( 1 / m ) ) e. RR+ )
29	24, 27, 28	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 + ( 1 / m ) ) e. RR+ )
30	29	rpred 11142	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 + ( 1 / m ) ) e. RR )
31		1re 9500	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
32		ltaddrp 11138	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 1 / m ) e. RR+ ) -> 1 < ( 1 + ( 1 / m ) ) )
33	31, 27, 32	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> 1 < ( 1 + ( 1 / m ) ) )
34	30, 33	rplogcld 22221	. . . . 5 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) e. RR+ )
35	23, 34	eqeltrd 2542	. . . 4 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) e. RR+ )
36	35	rpred 11142	. . 3 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) e. RR )
37	29	relogcld 22215	. . . . 5 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) e. RR )
38		efgt1p 13521	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / m ) e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / m ) ) < ( exp ` ( 1 / m ) ) )
39	27, 38	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 + ( 1 / m ) ) < ( exp ` ( 1 / m ) ) )
40	17	rpefcld 13511	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( exp ` ( 1 / m ) ) e. RR+ )
41		logltb 22191	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 + ( 1 / m ) ) e. RR+ /\ ( exp ` ( 1 / m ) ) e. RR+ ) -> ( ( 1 + ( 1 / m ) ) < ( exp ` ( 1 / m ) ) <-> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) < ( log ` ( exp ` ( 1 / m ) ) ) ) )
42	29, 40, 41	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( ( 1 + ( 1 / m ) ) < ( exp ` ( 1 / m ) ) <-> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) < ( log ` ( exp ` ( 1 / m ) ) ) ) )
43	39, 42	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) < ( log ` ( exp ` ( 1 / m ) ) ) )
44	17	relogefd 22220	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( exp ` ( 1 / m ) ) ) = ( 1 / m ) )
45	43, 44	breqtrd 4427	. . . . 5 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) < ( 1 / m ) )
46	37, 17, 45	ltled 9637	. . . 4 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) <_ ( 1 / m ) )
47	46, 23, 15	3brtr4d 4433	. . 3 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` m ) )
48	35	rpge0d 11146	. . 3 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> 0 <_ ( H ` m ) )
49	1, 2, 5, 10, 18, 36, 47, 48	climsqz2 13241	. 2 |- ( T. -> H ~~> 0 )
50	49	trud 1379	1 |- H ~~> 0

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   T. wtru 1371   e. wcel 1758   _Vcvv 3078   class class class wbr 4403   |-> cmpt 4461   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9395   RRcr 9396   0cc0 9397   1c1 9398   + caddc 9400   < clt 9533   <_ cle 9534   - cmin 9710   / cdiv 10108   NNcn 10437   RR+crp 11106   ...cfz 11558   ~~> cli 13084   sum_csu 13285   expce 13469   logclog 22149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475  ax-addf 9476  ax-mulf 9477

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7776  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-q 11069  df-rp 11107  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-xmul 11206  df-ioo 11419  df-ioc 11420  df-ico 11421  df-icc 11422  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-fl 11763  df-mod 11830  df-seq 11928  df-exp 11987  df-fac 12173  df-bc 12200  df-hash 12225  df-shft 12678  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-limsup 13071  df-clim 13088  df-rlim 13089  df-sum 13286  df-ef 13475  df-sin 13477  df-cos 13478  df-pi 13480  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-hom 14385  df-cco 14386  df-rest 14484  df-topn 14485  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-topgen 14505  df-pt 14506  df-prds 14509  df-xrs 14563  df-qtop 14568  df-imas 14569  df-xps 14571  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-mulg 15671  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-psmet 17944  df-xmet 17945  df-met 17946  df-bl 17947  df-mopn 17948  df-fbas 17949  df-fg 17950  df-cnfld 17954  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-topsp 18649  df-cld 18765  df-ntr 18766  df-cls 18767  df-nei 18844  df-lp 18882  df-perf 18883  df-cn 18973  df-cnp 18974  df-haus 19061  df-tx 19277  df-hmeo 19470  df-fil 19561  df-fm 19653  df-flim 19654  df-flf 19655  df-xms 20037  df-ms 20038  df-tms 20039  df-cncf 20596  df-limc 21484  df-dv 21485  df-log 22151

This theorem is referenced by:  emcllem6  22537