Theorem emcllem4 23924

Description: Lemma for emcl 23928. The difference between series F and G tends to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
emcl.1	|- F = ( n e. NN |-> ( sum_ m e. ( 1 ... n ) ( 1 / m ) - ( log ` n ) ) )
emcl.2	|- G = ( n e. NN |-> ( sum_ m e. ( 1 ... n ) ( 1 / m ) - ( log ` ( n + 1 ) ) ) )
emcl.3	|- H = ( n e. NN |-> ( log ` ( 1 + ( 1 / n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
emcllem4	|- H ~~> 0

Distinct variable groups:   m, H   m, n

Allowed substitution hints:   F( m, n)   G( m, n)   H( n)

Proof of Theorem emcllem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11194	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 10968	. . 3 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
3		ax-1cn 9597	. . . 4 |- 1 e. CC
4		divcnv 13911	. . . 4 |- ( 1 e. CC -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
6		emcl.3	. . . . 5 |- H = ( n e. NN |-> ( log ` ( 1 + ( 1 / n ) ) ) )
7		nnex 10615	. . . . . 6 |- NN e. _V
8	7	mptex 6136	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( log ` ( 1 + ( 1 / n ) ) ) ) e. _V
9	6, 8	eqeltri 2525	. . . 4 |- H e. _V
10	9	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> H e. _V )
11		oveq2 6298	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( 1 / n ) = ( 1 / m ) )
12		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / n ) )
13		ovex 6318	. . . . . 6 |- ( 1 / m ) e. _V
14	11, 12, 13	fvmpt 5948	. . . . 5 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` m ) = ( 1 / m ) )
15	14	adantl 468	. . . 4 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` m ) = ( 1 / m ) )
16		nnrecre 10646	. . . . 5 |- ( m e. NN -> ( 1 / m ) e. RR )
17	16	adantl 468	. . . 4 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 / m ) e. RR )
18	15, 17	eqeltrd 2529	. . 3 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` m ) e. RR )
19	11	oveq2d 6306	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( 1 + ( 1 / n ) ) = ( 1 + ( 1 / m ) ) )
20	19	fveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( log ` ( 1 + ( 1 / n ) ) ) = ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) )
21		fvex 5875	. . . . . . 7 |- ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) e. _V
22	20, 6, 21	fvmpt 5948	. . . . . 6 |- ( m e. NN -> ( H ` m ) = ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) )
23	22	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) = ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) )
24		1rp 11306	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR+
25		nnrp 11311	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> m e. RR+ )
26	25	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> m e. RR+ )
27	26	rpreccld 11351	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 / m ) e. RR+ )
28		rpaddcl 11323	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( 1 / m ) e. RR+ ) -> ( 1 + ( 1 / m ) ) e. RR+ )
29	24, 27, 28	sylancr 669	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 + ( 1 / m ) ) e. RR+ )
30	29	rpred 11341	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 + ( 1 / m ) ) e. RR )
31		1re 9642	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
32		ltaddrp 11336	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 1 / m ) e. RR+ ) -> 1 < ( 1 + ( 1 / m ) ) )
33	31, 27, 32	sylancr 669	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> 1 < ( 1 + ( 1 / m ) ) )
34	30, 33	rplogcld 23578	. . . . 5 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) e. RR+ )
35	23, 34	eqeltrd 2529	. . . 4 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) e. RR+ )
36	35	rpred 11341	. . 3 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) e. RR )
37	29	relogcld 23572	. . . . 5 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) e. RR )
38		efgt1p 14169	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / m ) e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / m ) ) < ( exp ` ( 1 / m ) ) )
39	27, 38	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 + ( 1 / m ) ) < ( exp ` ( 1 / m ) ) )
40	17	rpefcld 14159	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( exp ` ( 1 / m ) ) e. RR+ )
41		logltb 23549	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 + ( 1 / m ) ) e. RR+ /\ ( exp ` ( 1 / m ) ) e. RR+ ) -> ( ( 1 + ( 1 / m ) ) < ( exp ` ( 1 / m ) ) <-> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) < ( log ` ( exp ` ( 1 / m ) ) ) ) )
42	29, 40, 41	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( ( 1 + ( 1 / m ) ) < ( exp ` ( 1 / m ) ) <-> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) < ( log ` ( exp ` ( 1 / m ) ) ) ) )
43	39, 42	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) < ( log ` ( exp ` ( 1 / m ) ) ) )
44	17	relogefd 23577	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( exp ` ( 1 / m ) ) ) = ( 1 / m ) )
45	43, 44	breqtrd 4427	. . . . 5 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) < ( 1 / m ) )
46	37, 17, 45	ltled 9783	. . . 4 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) <_ ( 1 / m ) )
47	46, 23, 15	3brtr4d 4433	. . 3 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` m ) )
48	35	rpge0d 11345	. . 3 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> 0 <_ ( H ` m ) )
49	1, 2, 5, 10, 18, 36, 47, 48	climsqz2 13705	. 2 |- ( T. -> H ~~> 0 )
50	49	trud 1453	1 |- H ~~> 0

Syntax hints:   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   T. wtru 1445   e. wcel 1887   _Vcvv 3045   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   NNcn 10609   RR+crp 11302   ...cfz 11784   ~~> cli 13548   sum_csu 13752   expce 14114   logclog 23504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506

This theorem is referenced by:  emcllem6  23926