Theorem emcllem4 23454

Description: Lemma for emcl 23458. The difference between series F and G tends to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
emcl.1	|- F = ( n e. NN |-> ( sum_ m e. ( 1 ... n ) ( 1 / m ) - ( log ` n ) ) )
emcl.2	|- G = ( n e. NN |-> ( sum_ m e. ( 1 ... n ) ( 1 / m ) - ( log ` ( n + 1 ) ) ) )
emcl.3	|- H = ( n e. NN |-> ( log ` ( 1 + ( 1 / n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
emcllem4	|- H ~~> 0

Distinct variable groups:   m, H   m, n

Allowed substitution hints:   F( m, n)   G( m, n)   H( n)

Proof of Theorem emcllem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11141	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 10916	. . 3 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
3		ax-1cn 9567	. . . 4 |- 1 e. CC
4		divcnv 13677	. . . 4 |- ( 1 e. CC -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
5	3, 4	mp1i 12	. . 3 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
6		emcl.3	. . . . 5 |- H = ( n e. NN |-> ( log ` ( 1 + ( 1 / n ) ) ) )
7		nnex 10562	. . . . . 6 |- NN e. _V
8	7	mptex 6144	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( log ` ( 1 + ( 1 / n ) ) ) ) e. _V
9	6, 8	eqeltri 2541	. . . 4 |- H e. _V
10	9	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> H e. _V )
11		oveq2 6304	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( 1 / n ) = ( 1 / m ) )
12		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / n ) )
13		ovex 6324	. . . . . 6 |- ( 1 / m ) e. _V
14	11, 12, 13	fvmpt 5956	. . . . 5 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` m ) = ( 1 / m ) )
15	14	adantl 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` m ) = ( 1 / m ) )
16		nnrecre 10593	. . . . 5 |- ( m e. NN -> ( 1 / m ) e. RR )
17	16	adantl 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 / m ) e. RR )
18	15, 17	eqeltrd 2545	. . 3 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` m ) e. RR )
19	11	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( 1 + ( 1 / n ) ) = ( 1 + ( 1 / m ) ) )
20	19	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( log ` ( 1 + ( 1 / n ) ) ) = ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) )
21		fvex 5882	. . . . . . 7 |- ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) e. _V
22	20, 6, 21	fvmpt 5956	. . . . . 6 |- ( m e. NN -> ( H ` m ) = ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) )
23	22	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) = ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) )
24		1rp 11249	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR+
25		nnrp 11254	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> m e. RR+ )
26	25	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> m e. RR+ )
27	26	rpreccld 11291	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 / m ) e. RR+ )
28		rpaddcl 11265	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( 1 / m ) e. RR+ ) -> ( 1 + ( 1 / m ) ) e. RR+ )
29	24, 27, 28	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 + ( 1 / m ) ) e. RR+ )
30	29	rpred 11281	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 + ( 1 / m ) ) e. RR )
31		1re 9612	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
32		ltaddrp 11277	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 1 / m ) e. RR+ ) -> 1 < ( 1 + ( 1 / m ) ) )
33	31, 27, 32	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> 1 < ( 1 + ( 1 / m ) ) )
34	30, 33	rplogcld 23140	. . . . 5 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) e. RR+ )
35	23, 34	eqeltrd 2545	. . . 4 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) e. RR+ )
36	35	rpred 11281	. . 3 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) e. RR )
37	29	relogcld 23134	. . . . 5 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) e. RR )
38		efgt1p 13862	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / m ) e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / m ) ) < ( exp ` ( 1 / m ) ) )
39	27, 38	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 + ( 1 / m ) ) < ( exp ` ( 1 / m ) ) )
40	17	rpefcld 13852	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( exp ` ( 1 / m ) ) e. RR+ )
41		logltb 23110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 + ( 1 / m ) ) e. RR+ /\ ( exp ` ( 1 / m ) ) e. RR+ ) -> ( ( 1 + ( 1 / m ) ) < ( exp ` ( 1 / m ) ) <-> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) < ( log ` ( exp ` ( 1 / m ) ) ) ) )
42	29, 40, 41	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( ( 1 + ( 1 / m ) ) < ( exp ` ( 1 / m ) ) <-> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) < ( log ` ( exp ` ( 1 / m ) ) ) ) )
43	39, 42	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) < ( log ` ( exp ` ( 1 / m ) ) ) )
44	17	relogefd 23139	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( exp ` ( 1 / m ) ) ) = ( 1 / m ) )
45	43, 44	breqtrd 4480	. . . . 5 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) < ( 1 / m ) )
46	37, 17, 45	ltled 9750	. . . 4 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) <_ ( 1 / m ) )
47	46, 23, 15	3brtr4d 4486	. . 3 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` m ) )
48	35	rpge0d 11285	. . 3 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> 0 <_ ( H ` m ) )
49	1, 2, 5, 10, 18, 36, 47, 48	climsqz2 13476	. 2 |- ( T. -> H ~~> 0 )
50	49	trud 1404	1 |- H ~~> 0

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 1819   _Vcvv 3109   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   NNcn 10556   RR+crp 11245   ...cfz 11697   ~~> cli 13319   sum_csu 13520   expce 13809   logclog 23068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070

This theorem is referenced by:  emcllem6  23456