MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem4 Structured version   Unicode version

Theorem emcllem4 22535
Description: Lemma for emcl 22539. The difference between series  F and  G tends to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
emcl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem4  |-  H  ~~>  0
Distinct variable groups:    m, H    m, n
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)    H( n)

Proof of Theorem emcllem4
StepHypRef Expression
1 nnuz 11011 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10792 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 ax-1cn 9455 . . . 4  |-  1  e.  CC
4 divcnv 13438 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
53, 4mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
6 emcl.3 . . . . 5  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
7 nnex 10443 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
87mptex 6060 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )  e. 
_V
96, 8eqeltri 2538 . . . 4  |-  H  e. 
_V
109a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  H  e.  _V )
11 oveq2 6211 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  /  m ) )
12 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
13 ovex 6228 . . . . . 6  |-  ( 1  /  m )  e. 
_V
1411, 12, 13fvmpt 5886 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  m
)  =  ( 1  /  m ) )
1514adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  m
)  =  ( 1  /  m ) )
16 nnrecre 10473 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
1716adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
1815, 17eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  m
)  e.  RR )
1911oveq2d 6219 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )
2019fveq2d 5806 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) ) )
21 fvex 5812 . . . . . . 7  |-  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )  e.  _V
2220, 6, 21fvmpt 5886 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  ( H `  m )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) ) )
2322adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) ) )
24 1rp 11110 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
25 nnrp 11115 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR+ )
2625adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
2726rpreccld 11152 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  /  m )  e.  RR+ )
28 rpaddcl 11126 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
1  /  m )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )
2924, 27, 28sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )
3029rpred 11142 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR )
31 1re 9500 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
32 ltaddrp 11138 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  m
)  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )
3331, 27, 32sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )
3430, 33rplogcld 22221 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  e.  RR+ )
3523, 34eqeltrd 2542 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  e.  RR+ )
3635rpred 11142 . . 3  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  e.  RR )
3729relogcld 22215 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  e.  RR )
38 efgt1p 13521 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  m )  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  m ) )  < 
( exp `  (
1  /  m ) ) )
3927, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  <  ( exp `  (
1  /  m ) ) )
4017rpefcld 13511 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( exp `  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )
41 logltb 22191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR+  /\  ( exp `  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  m ) )  <  ( exp `  (
1  /  m ) )  <->  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) )  <  ( log `  ( exp `  (
1  /  m ) ) ) ) )
4229, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
( 1  +  ( 1  /  m ) )  <  ( exp `  ( 1  /  m
) )  <->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )  <  ( log `  ( exp `  (
1  /  m ) ) ) ) )
4339, 42mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  < 
( log `  ( exp `  ( 1  /  m ) ) ) )
4417relogefd 22220 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( exp `  (
1  /  m ) ) )  =  ( 1  /  m ) )
4543, 44breqtrd 4427 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  < 
( 1  /  m
) )
4637, 17, 45ltled 9637 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  <_ 
( 1  /  m
) )
4746, 23, 153brtr4d 4433 . . 3  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  m ) )
4835rpge0d 11146 . . 3  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  0  <_  ( H `  m
) )
491, 2, 5, 10, 18, 36, 47, 48climsqz2 13241 . 2  |-  ( T. 
->  H  ~~>  0 )
5049trud 1379 1  |-  H  ~~>  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9395   RRcr 9396   0cc0 9397   1c1 9398    + caddc 9400    < clt 9533    <_ cle 9534    - cmin 9710    / cdiv 10108   NNcn 10437   RR+crp 11106   ...cfz 11558    ~~> cli 13084   sum_csu 13285   expce 13469   logclog 22149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475  ax-addf 9476  ax-mulf 9477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7776  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-q 11069  df-rp 11107  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-xmul 11206  df-ioo 11419  df-ioc 11420  df-ico 11421  df-icc 11422  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-fl 11763  df-mod 11830  df-seq 11928  df-exp 11987  df-fac 12173  df-bc 12200  df-hash 12225  df-shft 12678  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-limsup 13071  df-clim 13088  df-rlim 13089  df-sum 13286  df-ef 13475  df-sin 13477  df-cos 13478  df-pi 13480  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-hom 14385  df-cco 14386  df-rest 14484  df-topn 14485  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-topgen 14505  df-pt 14506  df-prds 14509  df-xrs 14563  df-qtop 14568  df-imas 14569  df-xps 14571  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-mulg 15671  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-psmet 17944  df-xmet 17945  df-met 17946  df-bl 17947  df-mopn 17948  df-fbas 17949  df-fg 17950  df-cnfld 17954  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-topsp 18649  df-cld 18765  df-ntr 18766  df-cls 18767  df-nei 18844  df-lp 18882  df-perf 18883  df-cn 18973  df-cnp 18974  df-haus 19061  df-tx 19277  df-hmeo 19470  df-fil 19561  df-fm 19653  df-flim 19654  df-flf 19655  df-xms 20037  df-ms 20038  df-tms 20039  df-cncf 20596  df-limc 21484  df-dv 21485  df-log 22151
This theorem is referenced by:  emcllem6  22537
  Copyright terms: Public domain W3C validator