MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem3 Structured version   Unicode version

Theorem emcllem3 22276
Description: Lemma for emcl 22281. The function  H is the difference between  F and  G. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
emcl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( H `  N )  =  ( ( F `
 N )  -  ( G `  N ) ) )
Distinct variable groups:    m, H    m, n, N
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)    H( n)

Proof of Theorem emcllem3
StepHypRef Expression
1 peano2nn 10322 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
21nnrpd 11014 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR+ )
3 nnrp 10988 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
42, 3relogdivd 21960 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
5 nncn 10318 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
6 1cnd 9390 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
7 nnne0 10342 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
85, 6, 5, 7divdird 10133 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  =  ( ( N  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
95, 7dividd 10093 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  N )  =  1 )
109oveq1d 6095 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  N
)  +  ( 1  /  N ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )
118, 10eqtr2d 2466 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  N ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
1211fveq2d 5683 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )  =  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )
13 fzfid 11779 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
14 elfznn 11465 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... N )  ->  m  e.  NN )
1514adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... N ) )  ->  m  e.  NN )
1615nnrecred 10355 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
1713, 16fsumrecl 13195 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  e.  RR )
1817recnd 9400 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  e.  CC )
193relogcld 21957 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  e.  RR )
2019recnd 9400 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  e.  CC )
212relogcld 21957 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( N  + 
1 ) )  e.  RR )
2221recnd 9400 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
2318, 20, 22nnncan1d 9741 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  N ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
244, 12, 233eqtr4d 2475 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
25 oveq2 6088 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  /  N ) )
2625oveq2d 6096 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )
2726fveq2d 5683 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  N ) ) ) )
28 emcl.3 . . 3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
29 fvex 5689 . . 3  |-  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) )  e.  _V
3027, 28, 29fvmpt 5762 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( H `  N )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  N ) ) ) )
31 oveq2 6088 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... N
) )
3231sumeq1d 13162 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... n
) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m ) )
33 fveq2 5679 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  n )  =  ( log `  N
) )
3432, 33oveq12d 6098 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n
) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N
) ) )
35 emcl.1 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
36 ovex 6105 . . . 4  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) )  e.  _V
3734, 35, 36fvmpt 5762 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  N )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) ) )
38 oveq1 6087 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
3938fveq2d 5683 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( n  + 
1 ) )  =  ( log `  ( N  +  1 ) ) )
4032, 39oveq12d 6098 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
n  +  1 ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) ) )
41 emcl.2 . . . 4  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
42 ovex 6105 . . . 4  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  _V
4340, 41, 42fvmpt 5762 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( G `  N )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) ) )
4437, 43oveq12d 6098 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( F `  N
)  -  ( G `
 N ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
4524, 30, 443eqtr4d 2475 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( H `  N )  =  ( ( F `
 N )  -  ( G `  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   1c1 9271    + caddc 9273    - cmin 9583    / cdiv 9981   NNcn 10310   ...cfz 11424   sum_csu 13147   logclog 21891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-ef 13336  df-sin 13338  df-cos 13339  df-pi 13341  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184  df-log 21893
This theorem is referenced by:  emcllem6  22279
  Copyright terms: Public domain W3C validator