MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem3 Structured version   Unicode version

Theorem emcllem3 23192
Description: Lemma for emcl 23197. The function  H is the difference between  F and  G. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
emcl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( H `  N )  =  ( ( F `
 N )  -  ( G `  N ) ) )
Distinct variable groups:    m, H    m, n, N
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)    H( n)

Proof of Theorem emcllem3
StepHypRef Expression
1 peano2nn 10549 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
21nnrpd 11259 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR+ )
3 nnrp 11233 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
42, 3relogdivd 22876 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
5 nncn 10545 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
6 1cnd 9610 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
7 nnne0 10569 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
85, 6, 5, 7divdird 10359 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  =  ( ( N  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
95, 7dividd 10319 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  N )  =  1 )
109oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  N
)  +  ( 1  /  N ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )
118, 10eqtr2d 2483 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  N ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
1211fveq2d 5856 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )  =  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )
13 fzfid 12057 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
14 elfznn 11718 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... N )  ->  m  e.  NN )
1514adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... N ) )  ->  m  e.  NN )
1615nnrecred 10582 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
1713, 16fsumrecl 13530 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  e.  RR )
1817recnd 9620 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  e.  CC )
193relogcld 22873 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  e.  RR )
2019recnd 9620 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  e.  CC )
212relogcld 22873 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( N  + 
1 ) )  e.  RR )
2221recnd 9620 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
2318, 20, 22nnncan1d 9965 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  N ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
244, 12, 233eqtr4d 2492 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
25 oveq2 6285 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  /  N ) )
2625oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )
2726fveq2d 5856 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  N ) ) ) )
28 emcl.3 . . 3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
29 fvex 5862 . . 3  |-  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) )  e.  _V
3027, 28, 29fvmpt 5937 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( H `  N )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  N ) ) ) )
31 oveq2 6285 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... N
) )
3231sumeq1d 13497 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... n
) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m ) )
33 fveq2 5852 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  n )  =  ( log `  N
) )
3432, 33oveq12d 6295 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n
) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N
) ) )
35 emcl.1 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
36 ovex 6305 . . . 4  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) )  e.  _V
3734, 35, 36fvmpt 5937 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  N )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) ) )
38 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
3938fveq2d 5856 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( n  + 
1 ) )  =  ( log `  ( N  +  1 ) ) )
4032, 39oveq12d 6295 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
n  +  1 ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) ) )
41 emcl.2 . . . 4  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
42 ovex 6305 . . . 4  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  _V
4340, 41, 42fvmpt 5937 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( G `  N )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) ) )
4437, 43oveq12d 6295 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( F `  N
)  -  ( G `
 N ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
4524, 30, 443eqtr4d 2492 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( H `  N )  =  ( ( F `
 N )  -  ( G `  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    |-> cmpt 4491   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   1c1 9491    + caddc 9493    - cmin 9805    / cdiv 10207   NNcn 10537   ...cfz 11676   sum_csu 13482   logclog 22807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ioc 11538  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-bc 12355  df-hash 12380  df-shft 12874  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-limsup 13268  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-ef 13676  df-sin 13678  df-cos 13679  df-pi 13681  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137  df-log 22809
This theorem is referenced by:  emcllem6  23195
  Copyright terms: Public domain W3C validator