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Theorem emcllem2 20788
Description: Lemma for emcl 20794. 
F is increasing, and  G is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( F `  ( N  +  1 ) )  <_  ( F `  N )  /\  ( G `  N )  <_  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
Distinct variable group:    m, n, N
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)

Proof of Theorem emcllem2
StepHypRef Expression
1 peano2nn 9968 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
21nnrecred 10001 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
31nnrpd 10603 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR+ )
43relogcld 20471 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( N  + 
1 ) )  e.  RR )
5 nnrp 10577 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
65relogcld 20471 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  e.  RR )
74, 6resubcld 9421 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) )  e.  RR )
8 fzfid 11267 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
9 elfznn 11036 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1 ... N )  ->  m  e.  NN )
109adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... N ) )  ->  m  e.  NN )
1110nnrecred 10001 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
128, 11fsumrecl 12483 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  e.  RR )
133rpreccld 10614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
1413rpge0d 10608 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) )
15 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
1615div1i 9698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  1 )  =  1
17 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
18 ltaddrp 10600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
1  <  ( 1  +  N ) )
1917, 5, 18sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( 1  +  N
) )
20 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
21 addcom 9208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 1  +  N
)  =  ( N  +  1 ) )
2215, 20, 21sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  N )  =  ( N  + 
1 ) )
2319, 22breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( N  +  1 ) )
2416, 23syl5eqbr 4205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  1 )  <  ( N  + 
1 ) )
251nnred 9971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
261nngt0d 9999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
27 0lt1 9506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
28 ltrec1 9853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( N  +  1 ) ) )  -> 
( ( 1  / 
1 )  <  ( N  +  1 )  <-> 
( 1  /  ( N  +  1 ) )  <  1 ) )
2917, 27, 28mpanl12 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( 1  / 
1 )  <  ( N  +  1 )  <-> 
( 1  /  ( N  +  1 ) )  <  1 ) )
3025, 26, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  1
)  <  ( N  +  1 )  <->  ( 1  /  ( N  + 
1 ) )  <  1 ) )
3124, 30mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  +  1 ) )  <  1 )
322, 14, 31eflegeo 12677 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) )  <_ 
( 1  /  (
1  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
3325recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
34 nnne0 9988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
351nnne0d 10000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
3620, 33, 34, 35recdivd 9763 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  /  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
3715a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
3833, 37, 33, 35divsubdird 9785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  1 )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) )  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) ) )
39 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
4020, 15, 39sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
4140oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  1 )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( N  / 
( N  +  1 ) ) )
4233, 35dividd 9744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  ( N  +  1 ) )  =  1 )
4342oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  ( N  +  1 ) )  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) ) )
4438, 41, 433eqtr3rd 2445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( N  / 
( N  +  1 ) ) )
4544oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( 1  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  / 
( N  /  ( N  +  1 ) ) ) )
463, 5rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  RR+ )
4746reeflogd 20472 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
4836, 45, 473eqtr4d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( 1  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( exp `  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
4932, 48breqtrd 4196 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) )  <_ 
( exp `  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
503, 5relogdivd 20474 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
5150, 7eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  RR )
52 efle 12674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  RR )  -> 
( ( 1  / 
( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  <->  ( exp `  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
532, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  <->  ( exp `  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
5449, 53mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )
5554, 50breqtrd 4196 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
562, 7, 12, 55leadd2dd 9597 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  +  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N
) ) ) )
57 id 20 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
58 nnuz 10477 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5957, 58syl6eleq 2494 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
60 elfznn 11036 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
6160adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
6261nnrecred 10001 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
6362recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  CC )
64 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) )
6559, 63, 64fsump1 12495 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... N ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )
664recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
6712recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  e.  CC )
686recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  e.  CC )
6966, 67, 68addsub12d 9390 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  ( N  +  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... N ) ( 1  /  m )  +  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) ) ) )
7056, 65, 693brtr4d 4202 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  <_  (
( log `  ( N  +  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) ) ) )
71 fzfid 11267 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( N  + 
1 ) )  e. 
Fin )
7271, 62fsumrecl 12483 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  e.  RR )
7312, 6resubcld 9421 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N
) )  e.  RR )
7472, 4, 73lesubadd2d 9581 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  N ) )  <->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  <_  (
( log `  ( N  +  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) ) ) ) )
7570, 74mpbird 224 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N
) ) )
76 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
7776sumeq1d 12450 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... n
) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m ) )
78 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( log `  n )  =  ( log `  ( N  +  1 ) ) )
7977, 78oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n
) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) ) )
80 emcl.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
81 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  _V
8279, 80, 81fvmpt 5765 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( N  +  1 ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) ) )
831, 82syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  ( N  +  1 ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) ) )
84 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... N
) )
8584sumeq1d 12450 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... n
) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m ) )
86 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  n )  =  ( log `  N
) )
8785, 86oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n
) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N
) ) )
88 ovex 6065 . . . 4  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) )  e.  _V
8987, 80, 88fvmpt 5765 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  N )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) ) )
9075, 83, 893brtr4d 4202 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  ( N  +  1 ) )  <_  ( F `  N ) )
91 peano2nn 9968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  NN )
921, 91syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  NN )
9392nnrpd 10603 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  RR+ )
9493relogcld 20471 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
9594, 4resubcld 9421 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
96 logdifbnd 20785 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )
973, 96syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_ 
( 1  /  ( N  +  1 ) ) )
9895, 2, 12, 97leadd2dd 9597 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  +  ( ( log `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  +  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) ) )
9994recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
10067, 66, 99subadd23d 9389 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  +  ( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... N ) ( 1  /  m )  +  ( ( log `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
10198, 100, 653brtr4d 4202 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  +  ( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m ) )
10212, 4resubcld 9421 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
103 leaddsub 9460 . . . . 5  |-  ( ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( log `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  e.  RR  /\ 
sum_ m  e.  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ( 1  /  m )  e.  RR )  -> 
( ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  +  ( log `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( 1  /  m )  <-> 
( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ) ) )
104102, 94, 72, 103syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) )  +  ( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  <->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
105101, 104mpbid 202 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
106 oveq1 6047 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
107106fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( n  + 
1 ) )  =  ( log `  ( N  +  1 ) ) )
10885, 107oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
n  +  1 ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) ) )
109 emcl.2 . . . 4  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
110 ovex 6065 . . . 4  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  _V
111108, 109, 110fvmpt 5765 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( G `  N )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) ) )
112 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  +  1 )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
113112fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( log `  ( n  + 
1 ) )  =  ( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
11477, 113oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
n  +  1 ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
115 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  e.  _V
116114, 109, 115fvmpt 5765 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( G `  ( N  +  1 ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
1171, 116syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( G `  ( N  +  1 ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
118105, 111, 1173brtr4d 4202 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( G `  N )  <_  ( G `  ( N  +  1 ) ) )
11990, 118jca 519 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( F `  ( N  +  1 ) )  <_  ( F `  N )  /\  ( G `  N )  <_  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999   sum_csu 12434   expce 12619   logclog 20405
This theorem is referenced by:  emcllem6  20792  emcllem7  20793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407
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