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Theorem emcllem2 23191
Description: Lemma for emcl 23197. 
F is increasing, and  G is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( F `  ( N  +  1 ) )  <_  ( F `  N )  /\  ( G `  N )  <_  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
Distinct variable group:    m, n, N
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)

Proof of Theorem emcllem2
StepHypRef Expression
1 peano2nn 10549 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
21nnrecred 10582 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
31nnrpd 11259 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR+ )
43relogcld 22873 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( N  + 
1 ) )  e.  RR )
5 nnrp 11233 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
65relogcld 22873 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  e.  RR )
74, 6resubcld 9988 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) )  e.  RR )
8 fzfid 12057 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
9 elfznn 11718 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1 ... N )  ->  m  e.  NN )
109adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... N ) )  ->  m  e.  NN )
1110nnrecred 10582 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
128, 11fsumrecl 13530 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  e.  RR )
133rpreccld 11270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
1413rpge0d 11264 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) )
15 1div1e1 10238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  1 )  =  1
16 1re 9593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
17 ltaddrp 11256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
1  <  ( 1  +  N ) )
1816, 5, 17sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( 1  +  N
) )
19 ax-1cn 9548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
20 nncn 10545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
21 addcom 9764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 1  +  N
)  =  ( N  +  1 ) )
2219, 20, 21sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  N )  =  ( N  + 
1 ) )
2318, 22breqtrd 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( N  +  1 ) )
2415, 23syl5eqbr 4466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  1 )  <  ( N  + 
1 ) )
251nnred 10552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
261nngt0d 10580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
27 0lt1 10076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
28 ltrec1 10433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( N  +  1 ) ) )  -> 
( ( 1  / 
1 )  <  ( N  +  1 )  <-> 
( 1  /  ( N  +  1 ) )  <  1 ) )
2916, 27, 28mpanl12 682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( 1  / 
1 )  <  ( N  +  1 )  <-> 
( 1  /  ( N  +  1 ) )  <  1 ) )
3025, 26, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  1
)  <  ( N  +  1 )  <->  ( 1  /  ( N  + 
1 ) )  <  1 ) )
3124, 30mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  +  1 ) )  <  1 )
322, 14, 31eflegeo 13728 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) )  <_ 
( 1  /  (
1  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
3325recnd 9620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
34 nnne0 10569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
351nnne0d 10581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
3620, 33, 34, 35recdivd 10338 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  /  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
37 1cnd 9610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
3833, 37, 33, 35divsubdird 10360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  1 )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) )  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) ) )
39 pncan 9826 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
4020, 19, 39sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
4140oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  1 )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( N  / 
( N  +  1 ) ) )
4233, 35dividd 10319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  ( N  +  1 ) )  =  1 )
4342oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  ( N  +  1 ) )  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) ) )
4438, 41, 433eqtr3rd 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( N  / 
( N  +  1 ) ) )
4544oveq2d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( 1  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  / 
( N  /  ( N  +  1 ) ) ) )
463, 5rpdivcld 11277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  RR+ )
4746reeflogd 22874 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
4836, 45, 473eqtr4d 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( 1  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( exp `  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
4932, 48breqtrd 4457 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) )  <_ 
( exp `  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
503, 5relogdivd 22876 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
5150, 7eqeltrd 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  RR )
52 efle 13725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  RR )  -> 
( ( 1  / 
( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  <->  ( exp `  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
532, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  <->  ( exp `  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
5449, 53mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )
5554, 50breqtrd 4457 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
562, 7, 12, 55leadd2dd 10168 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  +  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N
) ) ) )
57 id 22 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
58 nnuz 11120 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5957, 58syl6eleq 2539 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
60 elfznn 11718 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
6160adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
6261nnrecred 10582 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
6362recnd 9620 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  CC )
64 oveq2 6285 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) )
6559, 63, 64fsump1 13545 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... N ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )
664recnd 9620 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
6712recnd 9620 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  e.  CC )
686recnd 9620 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  e.  CC )
6966, 67, 68addsub12d 9954 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  ( N  +  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... N ) ( 1  /  m )  +  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) ) ) )
7056, 65, 693brtr4d 4463 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  <_  (
( log `  ( N  +  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) ) ) )
71 fzfid 12057 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( N  + 
1 ) )  e. 
Fin )
7271, 62fsumrecl 13530 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  e.  RR )
7312, 6resubcld 9988 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N
) )  e.  RR )
7472, 4, 73lesubadd2d 10152 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  N ) )  <->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  <_  (
( log `  ( N  +  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) ) ) ) )
7570, 74mpbird 232 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N
) ) )
76 oveq2 6285 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
7776sumeq1d 13497 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... n
) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m ) )
78 fveq2 5852 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( log `  n )  =  ( log `  ( N  +  1 ) ) )
7977, 78oveq12d 6295 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n
) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) ) )
80 emcl.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
81 ovex 6305 . . . . 5  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  _V
8279, 80, 81fvmpt 5937 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( N  +  1 ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) ) )
831, 82syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  ( N  +  1 ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) ) )
84 oveq2 6285 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... N
) )
8584sumeq1d 13497 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... n
) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m ) )
86 fveq2 5852 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  n )  =  ( log `  N
) )
8785, 86oveq12d 6295 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n
) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N
) ) )
88 ovex 6305 . . . 4  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) )  e.  _V
8987, 80, 88fvmpt 5937 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  N )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) ) )
9075, 83, 893brtr4d 4463 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  ( N  +  1 ) )  <_  ( F `  N ) )
91 peano2nn 10549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  NN )
921, 91syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  NN )
9392nnrpd 11259 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  RR+ )
9493relogcld 22873 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
9594, 4resubcld 9988 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
96 logdifbnd 23188 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )
973, 96syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_ 
( 1  /  ( N  +  1 ) ) )
9895, 2, 12, 97leadd2dd 10168 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  +  ( ( log `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  +  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) ) )
9994recnd 9620 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
10067, 66, 99subadd23d 9953 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  +  ( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... N ) ( 1  /  m )  +  ( ( log `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
10198, 100, 653brtr4d 4463 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  +  ( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m ) )
10212, 4resubcld 9988 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
103 leaddsub 10029 . . . . 5  |-  ( ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( log `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  e.  RR  /\ 
sum_ m  e.  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ( 1  /  m )  e.  RR )  -> 
( ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  +  ( log `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( 1  /  m )  <-> 
( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ) ) )
104102, 94, 72, 103syl3anc 1227 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) )  +  ( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  <->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
105101, 104mpbid 210 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
106 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
107106fveq2d 5856 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( n  + 
1 ) )  =  ( log `  ( N  +  1 ) ) )
10885, 107oveq12d 6295 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
n  +  1 ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) ) )
109 emcl.2 . . . 4  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
110 ovex 6305 . . . 4  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  _V
111108, 109, 110fvmpt 5937 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( G `  N )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) ) )
112 oveq1 6284 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  +  1 )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
113112fveq2d 5856 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( log `  ( n  + 
1 ) )  =  ( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
11477, 113oveq12d 6295 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
n  +  1 ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
115 ovex 6305 . . . . 5  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  e.  _V
116114, 109, 115fvmpt 5937 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( G `  ( N  +  1 ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
1171, 116syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( G `  ( N  +  1 ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
118105, 111, 1173brtr4d 4463 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( G `  N )  <_  ( G `  ( N  +  1 ) ) )
11990, 118jca 532 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( F `  ( N  +  1 ) )  <_  ( F `  N )  /\  ( G `  N )  <_  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9805    / cdiv 10207   NNcn 10537   ZZ>=cuz 11085   RR+crp 11224   ...cfz 11676   sum_csu 13482   expce 13670   logclog 22807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ioc 11538  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-bc 12355  df-hash 12380  df-shft 12874  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-limsup 13268  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-ef 13676  df-sin 13678  df-cos 13679  df-pi 13681  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137  df-log 22809
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