Theorem elzrhunit 28834

Description: Condition for the image by ZRHom to be a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhker.0	|- B = ( Base ` R )
zrhker.1	|- L = ( ZRHom ` R )
zrhker.2	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
elzrhunit	|- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> ( L ` M ) e. (Unit ` R ) )

Proof of Theorem elzrhunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> R e. DivRing )
2		drngring 18037	. . 3 |- ( R e. DivRing -> R e. Ring )
3		zrhker.1	. . . . 5 |- L = ( ZRHom ` R )
4	3	zrhrhm 19138	. . . 4 |- ( R e. Ring -> L e. (ℤring RingHom R ) )
5		zringbas 19100	. . . . 5 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
6		zrhker.0	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
7	5, 6	rhmf 18009	. . . 4 |- ( L e. (ℤring RingHom R ) -> L : ZZ --> B )
8		ffn 5755	. . . 4 |- ( L : ZZ --> B -> L Fn ZZ )
9	4, 7, 8	3syl 18	. . 3 |- ( R e. Ring -> L Fn ZZ )
10	1, 2, 9	3syl 18	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> L Fn ZZ )
11		simprl 769	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> M e. ZZ )
12		elsncg 4003	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( M e. { 0 } <-> M = 0 ) )
13	12	necon3bbid 2673	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( -. M e. { 0 } <-> M =/= 0 ) )
14	13	biimpar 492	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> -. M e. { 0 } )
15	14	adantl 472	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> -. M e. { 0 } )
16	11, 15	eldifd 3427	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> M e. ( ZZ \ { 0 } ) )
17		zrhker.2	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
18	6, 3, 17	zrhunitpreima 28833	. . . 4 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( `' L " (Unit ` R ) ) = ( ZZ \ { 0 } ) )
19	18	adantr 471	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> ( `' L " (Unit ` R ) ) = ( ZZ \ { 0 } ) )
20	16, 19	eleqtrrd 2543	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> M e. ( `' L " (Unit ` R ) ) )
21		elpreima 6030	. . 3 |- ( L Fn ZZ -> ( M e. ( `' L " (Unit ` R ) ) <-> ( M e. ZZ /\ ( L ` M ) e. (Unit ` R ) ) ) )
22	21	simplbda 634	. 2 |- ( ( L Fn ZZ /\ M e. ( `' L " (Unit ` R ) ) ) -> ( L ` M ) e. (Unit ` R ) )
23	10, 20, 22	syl2anc 671	1 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> ( L ` M ) e. (Unit ` R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   \ cdif 3413   {csn 3980   `'ccnv 4855   "cima 4859   Fn wfn 5600   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   0cc0 9570   ZZcz 10971   Basecbs 15176   0gc0g 15393   Ringcrg 17835  Unitcui 17922   RingHom crh 17995   DivRingcdr 18030  ℤ_ringzring 19094   ZRHomczrh 19126  chrcchr 19128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648  ax-addf 9649  ax-mulf 9650

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-sup 7987  df-inf 7988  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-rp 11337  df-fz 11820  df-fl 12066  df-mod 12135  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-dvds 14361  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-0g 15395  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-mhm 16637  df-grp 16728  df-minusg 16729  df-sbg 16730  df-mulg 16731  df-subg 16869  df-ghm 16936  df-od 17227  df-cmn 17487  df-mgp 17779  df-ur 17791  df-ring 17837  df-cring 17838  df-rnghom 17998  df-drng 18032  df-subrg 18061  df-cnfld 19026  df-zring 19095  df-zrh 19130  df-chr 19132

This theorem is referenced by:  qqhghm  28843  qqhrhm  28844  qqhnm  28845