Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elzrhunit Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem elzrhunit 28834
Description: Condition for the image by  ZRHom to be a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhker.0  |-  B  =  ( Base `  R
)
zrhker.1  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
zrhker.2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
elzrhunit  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )  -> 
( L `  M
)  e.  (Unit `  R ) )

Proof of Theorem elzrhunit
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )  ->  R  e.  DivRing )
2 drngring 18037 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
3 zrhker.1 . . . . 5  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
43zrhrhm 19138 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  R ) )
5 zringbas 19100 . . . . 5  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
6 zrhker.0 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
75, 6rhmf 18009 . . . 4  |-  ( L  e.  (ring RingHom  R )  ->  L : ZZ --> B )
8 ffn 5755 . . . 4  |-  ( L : ZZ --> B  ->  L  Fn  ZZ )
94, 7, 83syl 18 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  L  Fn  ZZ )
101, 2, 93syl 18 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )  ->  L  Fn  ZZ )
11 simprl 769 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )  ->  M  e.  ZZ )
12 elsncg 4003 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  { 0 } 
<->  M  =  0 ) )
1312necon3bbid 2673 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( -.  M  e.  { 0 }  <->  M  =/=  0
) )
1413biimpar 492 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  ->  -.  M  e.  { 0 } )
1514adantl 472 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )  ->  -.  M  e.  { 0 } )
1611, 15eldifd 3427 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )  ->  M  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )
17 zrhker.2 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
186, 3, 17zrhunitpreima 28833 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( `' L " (Unit `  R
) )  =  ( ZZ  \  { 0 } ) )
1918adantr 471 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )  -> 
( `' L "
(Unit `  R )
)  =  ( ZZ 
\  { 0 } ) )
2016, 19eleqtrrd 2543 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )  ->  M  e.  ( `' L " (Unit `  R
) ) )
21 elpreima 6030 . . 3  |-  ( L  Fn  ZZ  ->  ( M  e.  ( `' L " (Unit `  R
) )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( L `
 M )  e.  (Unit `  R )
) ) )
2221simplbda 634 . 2  |-  ( ( L  Fn  ZZ  /\  M  e.  ( `' L " (Unit `  R
) ) )  -> 
( L `  M
)  e.  (Unit `  R ) )
2310, 20, 22syl2anc 671 1  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )  -> 
( L `  M
)  e.  (Unit `  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633    \ cdif 3413   {csn 3980   `'ccnv 4855   "cima 4859    Fn wfn 5600   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   0cc0 9570   ZZcz 10971   Basecbs 15176   0gc0g 15393   Ringcrg 17835  Unitcui 17922   RingHom crh 17995   DivRingcdr 18030  ℤringzring 19094   ZRHomczrh 19126  chrcchr 19128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648  ax-addf 9649  ax-mulf 9650
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-sup 7987  df-inf 7988  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-rp 11337  df-fz 11820  df-fl 12066  df-mod 12135  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-dvds 14361  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-0g 15395  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-mhm 16637  df-grp 16728  df-minusg 16729  df-sbg 16730  df-mulg 16731  df-subg 16869  df-ghm 16936  df-od 17227  df-cmn 17487  df-mgp 17779  df-ur 17791  df-ring 17837  df-cring 17838  df-rnghom 17998  df-drng 18032  df-subrg 18061  df-cnfld 19026  df-zring 19095  df-zrh 19130  df-chr 19132
This theorem is referenced by:  qqhghm  28843  qqhrhm  28844  qqhnm  28845
  Copyright terms: Public domain W3C validator