MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elznn0nn Structured version   Unicode version

Theorem elznn0nn 10890
Description: Integer property expressed in terms nonnegative integers and positive integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elznn0nn  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) ) )

Proof of Theorem elznn0nn
StepHypRef Expression
1 elz 10878 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) ) )
2 andi 865 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( ( N  =  0  \/  N  e.  NN )  \/  -u N  e.  NN ) )  <->  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN )
)  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) ) )
3 df-3or 974 . . . 4  |-  ( ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN )  <-> 
( ( N  =  0  \/  N  e.  NN )  \/  -u N  e.  NN ) )
43anbi2i 694 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )  <->  ( N  e.  RR  /\  ( ( N  =  0  \/  N  e.  NN )  \/  -u N  e.  NN ) ) )
5 nn0re 10816 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
65pm4.71ri 633 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  RR  /\  N  e. 
NN0 ) )
7 elnn0 10809 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
8 orcom 387 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  <-> 
( N  =  0  \/  N  e.  NN ) )
97, 8bitri 249 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  =  0  \/  N  e.  NN ) )
109anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN ) ) )
116, 10bitri 249 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN ) ) )
1211orbi1i 520 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) )  <->  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN )
)  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) ) )
132, 4, 123bitr4i 277 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )  <->  ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) ) )
141, 13bitri 249 1  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1379    e. wcel 1767   RRcr 9503   0cc0 9504   -ucneg 9818   NNcn 10548   NN0cn0 10807   ZZcz 10876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877
This theorem is referenced by:  zindd  10974  expcl2lem  12158  mulexpz  12186  expaddz  12190  expmulz  12192  absexpz  13118  bitsfzo  13961  pcid  14272  mulgsubcl  16028  mulgneg  16032  ghmmulg  16151  prmirred  18394  prmirredOLD  18397  tgpmulg  20460  dvexp3  22247  gxsuc  25097  ipasslem3  25571  ztprmneprm  32415
  Copyright terms: Public domain W3C validator