MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elznn0 Structured version   Unicode version

Theorem elznn0 10880
Description: Integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elznn0  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )

Proof of Theorem elznn0
StepHypRef Expression
1 elz 10867 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) ) )
2 elnn0 10798 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) ) )
4 elnn0 10798 . . . . . 6  |-  ( -u N  e.  NN0  <->  ( -u N  e.  NN  \/  -u N  =  0 ) )
5 recn 9580 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
6 0cn 9586 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
7 negcon1 9871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( -u N  =  0  <->  -u 0  =  N ) )
85, 6, 7sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u N  =  0  <->  -u 0  =  N ) )
9 neg0 9865 . . . . . . . . . 10  |-  -u 0  =  0
109eqeq1i 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
0  =  N  <->  0  =  N )
11 eqcom 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  N  <->  N  = 
0 )
1210, 11bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( -u
0  =  N  <->  N  = 
0 )
138, 12syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u N  =  0  <->  N  =  0 ) )
1413orbi2d 701 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( -u N  e.  NN  \/  -u N  =  0 )  <->  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) ) )
154, 14syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u N  e.  NN0  <->  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) ) )
163, 15orbi12d 709 . . . 4  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) 
<->  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) ) ) )
17 3orass 975 . . . . 5  |-  ( ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN )  <-> 
( N  =  0  \/  ( N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) ) )
18 orcom 387 . . . . 5  |-  ( ( N  =  0  \/  ( N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )  <->  ( ( N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN )  \/  N  =  0 ) )
19 orordir 531 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN )  \/  N  = 
0 )  <->  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) ) )
2017, 18, 193bitrri 272 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0
)  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )  <->  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )
2116, 20syl6rbb 262 . . 3  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) 
<->  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
2221pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
231, 22bitri 249 1  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 971    = wceq 1381    e. wcel 1802   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   -ucneg 9806   NNcn 10537   NN0cn0 10796   ZZcz 10865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-ltxr 9631  df-sub 9807  df-neg 9808  df-n0 10797  df-z 10866
This theorem is referenced by:  elz2  10882  zmulcl  10913  expnegz  12174  expaddzlem  12183  odd2np1  13918  mulgz  16032  mulgdirlem  16035  mulgdir  16036  mulgass  16041  mulgdi  16704  cxpmul2z  22937  gxneg  25133  gxadd  25142  gxmul  25145  rexzrexnn0  30705  pell1234qrdich  30765  pell14qrexpcl  30771  pell14qrdich  30773  rmxnn  30857  jm2.19lem4  30902
  Copyright terms: Public domain W3C validator