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Theorem elz2 10891
Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
elz2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
Distinct variable group:    x, y, N

Proof of Theorem elz2
StepHypRef Expression
1 elznn0 10889 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
2 nn0p1nn 10845 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
32adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN )
4 1nn 10557 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  e.  NN )
6 recn 9592 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
76adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
8 ax-1cn 9560 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
9 pncan 9836 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
107, 8, 9sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
1110eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
12 rspceov 6331 . . . . 5  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN  /\  1  e.  NN  /\  N  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
133, 5, 11, 12syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
144a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  1  e.  NN )
156adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
16 negsub 9877 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 1  +  -u N )  =  ( 1  -  N ) )
178, 15, 16sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  -u N )  =  ( 1  -  N ) )
18 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  -> 
-u N  e.  NN0 )
19 nnnn0addcl 10836 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  -u N )  e.  NN )
204, 18, 19sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  -u N )  e.  NN )
2117, 20eqeltrrd 2556 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  N
)  e.  NN )
22 nncan 9858 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  N ) )  =  N )
238, 15, 22sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  (
1  -  N ) )  =  N )
2423eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  N  =  ( 1  -  ( 1  -  N ) ) )
25 rspceov 6331 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( 1  -  N
)  e.  NN  /\  N  =  ( 1  -  ( 1  -  N ) ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
2614, 21, 24, 25syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
2713, 26jaodan 783 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
28 nnre 10553 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
29 nnre 10553 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
30 resubcl 9893 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  -  y
)  e.  RR )
3128, 29, 30syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  -  y
)  e.  RR )
32 letric 9695 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  \/  x  <_  y ) )
3329, 28, 32syl2anr 478 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  <_  x  \/  x  <_  y ) )
34 nnnn0 10812 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
35 nnnn0 10812 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
36 nn0sub 10856 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( y  <_  x  <->  ( x  -  y )  e.  NN0 ) )
3734, 35, 36syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  <_  x  <->  ( x  -  y )  e.  NN0 ) )
38 nn0sub 10856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  <_  y  <->  ( y  -  x )  e.  NN0 ) )
3935, 34, 38syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  <_  y  <->  ( y  -  x )  e.  NN0 ) )
40 nncn 10554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
41 nncn 10554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
42 negsubdi2 9888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  -> 
-u ( x  -  y )  =  ( y  -  x ) )
4340, 41, 42syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  -> 
-u ( x  -  y )  =  ( y  -  x ) )
4443eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u ( x  -  y )  e. 
NN0 
<->  ( y  -  x
)  e.  NN0 )
)
4539, 44bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  <_  y  <->  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
)
4637, 45orbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( y  <_  x  \/  x  <_  y )  <->  ( ( x  -  y )  e. 
NN0  \/  -u ( x  -  y )  e. 
NN0 ) ) )
4733, 46mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( x  -  y )  e.  NN0  \/  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
)
4831, 47jca 532 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( x  -  y )  e.  RR  /\  ( ( x  -  y )  e.  NN0  \/  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
) )
49 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  ( N  e.  RR  <->  ( x  -  y )  e.  RR ) )
50 eleq1 2539 . . . . . . 7  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  ( N  e.  NN0  <->  ( x  -  y )  e. 
NN0 ) )
51 negeq 9822 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  -u N  =  -u ( x  -  y ) )
5251eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  ( -u N  e.  NN0  <->  -u ( x  -  y )  e. 
NN0 ) )
5350, 52orbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  (
( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) 
<->  ( ( x  -  y )  e.  NN0  \/  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
) )
5449, 53anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  (
( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )  <->  ( (
x  -  y )  e.  RR  /\  (
( x  -  y
)  e.  NN0  \/  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
) ) )
5548, 54syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( N  =  ( x  -  y )  ->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) ) )
5655rexlimivv 2964 . . 3  |-  ( E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y )  ->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
5727, 56impbii 188 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
581, 57bitri 249 1  |-  ( N  e.  ZZ  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6294   CCcc 9500   RRcr 9501   1c1 9503    + caddc 9505    <_ cle 9639    - cmin 9815   -ucneg 9816   NNcn 10546   NN0cn0 10805   ZZcz 10874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-n0 10806  df-z 10875
This theorem is referenced by:  dfz2  10892  zaddcl  10913
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