MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elxrge0 Structured version   Unicode version

Theorem elxrge0 11394
Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elxrge0  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A ) )

Proof of Theorem elxrge0
StepHypRef Expression
1 df-3an 967 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <_ +oo )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  A  <_ +oo ) )
2 0xr 9430 . . 3  |-  0  e.  RR*
3 pnfxr 11092 . . 3  |- +oo  e.  RR*
4 elicc1 11344 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <_ +oo )
) )
52, 3, 4mp2an 672 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <_ +oo )
)
6 pnfge 11110 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )
76adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  <_ +oo )
87pm4.71i 632 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  A  <_ +oo ) )
91, 5, 83bitr4i 277 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   0cc0 9282   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417    <_ cle 9419   [,]cicc 11303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-icc 11307
This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  11396  ge0xaddcl  11399  ge0xmulcl  11400  xrge0subm  17854  psmetxrge0  19889  isxmet2d  19902  prdsdsf  19942  prdsxmetlem  19943  comet  20088  stdbdxmet  20090  xrge0gsumle  20410  xrge0tsms  20411  metdsf  20424  metds0  20426  metdstri  20427  metdsre  20429  metdseq0  20430  metdscnlem  20431  metnrmlem1a  20434  metnrmlem1  20435  xrhmeo  20518  lebnumlem1  20533  xrge0f  21209  itg2const2  21219  itg2uba  21221  itg2monolem1  21228  itg2monolem2  21229  itg2monolem3  21230  itg2mono  21231  itg2i1fseqle  21232  itg2i1fseq3  21235  itg2addlem  21236  itg2gt0  21238  itg2cnlem2  21240  itg2cn  21241  iblss  21282  itgle  21287  itgeqa  21291  ibladdlem  21297  iblabs  21306  iblabsr  21307  iblmulc2  21308  itgsplit  21313  bddmulibl  21316  xrge0infss  26053  xrge00  26147  xrge0tsmsd  26253  esummono  26509  gsumesum  26510  esumsn  26515  esumpmono  26528  hashf2  26533  measge0  26621  measle0  26622  measssd  26629  measunl  26630  sibfinima  26725  prob01  26796  dstrvprob  26854  itg2addnclem  28443  itg2addnc  28446  itg2gt0cn  28447  ibladdnclem  28448  iblabsnc  28456  iblmulc2nc  28457  bddiblnc  28462  ftc1anclem4  28470  ftc1anclem5  28471  ftc1anclem6  28472  ftc1anclem7  28473  ftc1anclem8  28474  ftc1anc  28475
  Copyright terms: Public domain W3C validator