MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elxrge0 Structured version   Unicode version

Theorem elxrge0 11625
Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elxrge0  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A ) )

Proof of Theorem elxrge0
StepHypRef Expression
1 df-3an 975 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <_ +oo )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  A  <_ +oo ) )
2 0xr 9636 . . 3  |-  0  e.  RR*
3 pnfxr 11317 . . 3  |- +oo  e.  RR*
4 elicc1 11569 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <_ +oo )
) )
52, 3, 4mp2an 672 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <_ +oo )
)
6 pnfge 11335 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )
76adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  <_ +oo )
87pm4.71i 632 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  A  <_ +oo ) )
91, 5, 83bitr4i 277 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   0cc0 9488   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    <_ cle 9625   [,]cicc 11528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-icc 11532
This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  11627  ge0xaddcl  11630  ge0xmulcl  11631  xrge0subm  18224  psmetxrge0  20549  isxmet2d  20562  prdsdsf  20602  prdsxmetlem  20603  comet  20748  stdbdxmet  20750  xrge0gsumle  21070  xrge0tsms  21071  metdsf  21084  metds0  21086  metdstri  21087  metdsre  21089  metdseq0  21090  metdscnlem  21091  metnrmlem1a  21094  metnrmlem1  21095  xrhmeo  21178  lebnumlem1  21193  xrge0f  21870  itg2const2  21880  itg2uba  21882  itg2monolem1  21889  itg2monolem2  21890  itg2monolem3  21891  itg2mono  21892  itg2i1fseqle  21893  itg2i1fseq3  21896  itg2addlem  21897  itg2gt0  21899  itg2cnlem2  21901  itg2cn  21902  iblss  21943  itgle  21948  itgeqa  21952  ibladdlem  21958  iblabs  21967  iblabsr  21968  iblmulc2  21969  itgsplit  21974  bddmulibl  21977  xrge0infss  27245  xrge00  27333  xrge0tsmsd  27435  esummono  27703  gsumesum  27704  esumsn  27709  esumpmono  27722  hashf2  27727  measge0  27815  measle0  27816  measssd  27823  measunl  27824  sibfinima  27918  prob01  27989  dstrvprob  28047  itg2addnclem  29641  itg2addnc  29644  itg2gt0cn  29645  ibladdnclem  29646  iblabsnc  29654  iblmulc2nc  29655  bddiblnc  29660  ftc1anclem4  29668  ftc1anclem5  29669  ftc1anclem6  29670  ftc1anclem7  29671  ftc1anclem8  29672  ftc1anc  29673
  Copyright terms: Public domain W3C validator