Theorem elxr 6706

Description: Membership in the set of extended reals.

Assertion

Ref	Expression
elxr	|- (A e. RR* <-> (A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo))

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 6656	. . 3 |- RR* = (RR u. { +oo, -oo})
2	1	eleq2i 1961	. 2 |- (A e. RR* <-> A e. (RR u. { +oo, -oo}))
3		elun 2741	. 2 |- (A e. (RR u. { +oo, -oo}) <-> (A e. RR \/ A e. { +oo, -oo}))
4		pnfxr 6660	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
5	4	elisseti 2301	. . . . 5 |- +oo e. _V
6		mnfxr 6662	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
7	6	elisseti 2301	. . . . 5 |- -oo e. _V
8	5, 7	elpr2 3062	. . . 4 |- (A e. { +oo, -oo} <-> (A = +oo \/ A = -oo))
9	8	orbi2i 275	. . 3 |- ((A e. RR \/ A e. { +oo, -oo}) <-> (A e. RR \/ (A = +oo \/ A = -oo)))
10		3orass 861	. . 3 |- ((A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo) <-> (A e. RR \/ (A = +oo \/ A = -oo)))
11	9, 10	bitr4i 193	. 2 |- ((A e. RR \/ A e. { +oo, -oo}) <-> (A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo))
12	2, 3, 11	3bitri 194	1 |- (A e. RR* <-> (A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo))

Syntax hints:   <-> wb 163   \/ wo 239   \/ w3o 857   = wceq 1298   e. wcel 1300   u. cun 2591  {cpr 3045  RRcr 6385   +oocpnf 6650   -oocmnf 6651  RR*cxr 6652

This theorem is referenced by:  xrltnr 6716  xrltnsym 6725  xrlttri 6727  xrlttr 6728  xrrebnd 6743  xrsupsslem 7285  xrinfmsslem 7286  xrub 7289  supxrre 7292  qbtwnxr 7460  tgioolem 9192  altretop 14997  reconnlem1 15446

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-qs 5323  df-ni 6152  df-nq 6190  df-np 6238  df-nr 6319  df-c 6392  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656

Copyright terms: Public domain