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Theorem elxp4 6752
Description: Membership in a Cartesian product. This version requires no quantifiers or dummy variables. See also elxp5 6753, elxp6 6840, and elxp7 6841. (Contributed by NM, 17-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
elxp4  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) )

Proof of Theorem elxp4
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 4870 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) )
2 sneq 4008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  { A }  =  { <. x ,  y
>. } )
32rneqd 5081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ran  { A }  =  ran  { <. x ,  y >. } )
43unieqd 4229 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  U. ran  { A }  =  U. ran  { <. x ,  y >. } )
5 vex 3083 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
6 vex 3083 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
75, 6op2nda 5340 . . . . . . . . . 10  |-  U. ran  {
<. x ,  y >. }  =  y
84, 7syl6req 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  y  =  U. ran  { A } )
98pm4.71ri 637 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  <. x ,  y
>. 
<->  ( y  =  U. ran  { A }  /\  A  =  <. x ,  y >. ) )
109anbi1i 699 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( ( y  =  U. ran  { A }  /\  A  = 
<. x ,  y >.
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C ) ) )
11 anass 653 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  =  U. ran  { A }  /\  A  =  <. x ,  y >. )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( y  = 
U. ran  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) ) )
1210, 11bitri 252 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( y  = 
U. ran  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) ) )
1312exbii 1712 . . . . 5  |-  ( E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  E. y
( y  =  U. ran  { A }  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
) ) )
14 snex 4662 . . . . . . . 8  |-  { A }  e.  _V
1514rnex 6742 . . . . . . 7  |-  ran  { A }  e.  _V
1615uniex 6602 . . . . . 6  |-  U. ran  { A }  e.  _V
17 opeq2 4188 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  U. ran  { A }  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  U. ran  { A } >. )
1817eqeq2d 2436 . . . . . . 7  |-  ( y  =  U. ran  { A }  ->  ( A  =  <. x ,  y
>. 
<->  A  =  <. x ,  U. ran  { A } >. ) )
19 eleq1 2495 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  U. ran  { A }  ->  ( y  e.  C  <->  U. ran  { A }  e.  C
) )
2019anbi2d 708 . . . . . . 7  |-  ( y  =  U. ran  { A }  ->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  C )  <->  ( x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) ) )
2118, 20anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( y  =  U. ran  { A }  ->  ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( A  = 
<. x ,  U. ran  { A } >.  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) ) ) )
2216, 21ceqsexv 3118 . . . . 5  |-  ( E. y ( y  = 
U. ran  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) )  <->  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  /\  ( x  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C )
) )
2313, 22bitri 252 . . . 4  |-  ( E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  /\  ( x  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C )
) )
24 sneq 4008 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  ->  { A }  =  { <. x ,  U. ran  { A } >. } )
2524dmeqd 5056 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  ->  dom  { A }  =  dom  { <. x ,  U. ran  { A } >. } )
2625unieqd 4229 . . . . . . 7  |-  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  ->  U. dom  { A }  =  U. dom  { <. x ,  U. ran  { A } >. } )
275, 16op1sta 5337 . . . . . . 7  |-  U. dom  {
<. x ,  U. ran  { A } >. }  =  x
2826, 27syl6req 2480 . . . . . 6  |-  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  ->  x  =  U. dom  { A } )
2928pm4.71ri 637 . . . . 5  |-  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  <->  (
x  =  U. dom  { A }  /\  A  =  <. x ,  U. ran  { A } >. ) )
3029anbi1i 699 . . . 4  |-  ( ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  /\  ( x  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) )  <->  ( (
x  =  U. dom  { A }  /\  A  =  <. x ,  U. ran  { A } >. )  /\  ( x  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) )
31 anass 653 . . . 4  |-  ( ( ( x  =  U. dom  { A }  /\  A  =  <. x , 
U. ran  { A } >. )  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) )  <->  ( x  =  U. dom  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  U. ran  { A } >.  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) ) ) )
3223, 30, 313bitri 274 . . 3  |-  ( E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  ( x  =  U. dom  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  U. ran  { A } >.  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) ) ) )
3332exbii 1712 . 2  |-  ( E. x E. y ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. x ( x  =  U. dom  { A }  /\  ( A  =  <. x , 
U. ran  { A } >.  /\  ( x  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) ) )
3414dmex 6741 . . . 4  |-  dom  { A }  e.  _V
3534uniex 6602 . . 3  |-  U. dom  { A }  e.  _V
36 opeq1 4187 . . . . 5  |-  ( x  =  U. dom  { A }  ->  <. x ,  U. ran  { A } >.  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >. )
3736eqeq2d 2436 . . . 4  |-  ( x  =  U. dom  { A }  ->  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  <->  A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >. ) )
38 eleq1 2495 . . . . 5  |-  ( x  =  U. dom  { A }  ->  ( x  e.  B  <->  U. dom  { A }  e.  B
) )
3938anbi1d 709 . . . 4  |-  ( x  =  U. dom  { A }  ->  ( ( x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C )  <->  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) )
4037, 39anbi12d 715 . . 3  |-  ( x  =  U. dom  { A }  ->  ( ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  /\  ( x  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) )  <->  ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) ) )
4135, 40ceqsexv 3118 . 2  |-  ( E. x ( x  = 
U. dom  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  U. ran  { A } >.  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) ) )  <-> 
( A  =  <. U.
dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C )
) )
421, 33, 413bitri 274 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   {csn 3998   <.cop 4004   U.cuni 4219    X. cxp 4851   dom cdm 4853   ran crn 4854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pr 4660  ax-un 6598
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-dm 4863  df-rn 4864
This theorem is referenced by:  elxp6  6840  xpdom2  7677
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