Theorem elxp3 4885

Description: Membership in a Cartesian product. (Contributed by NM, 5-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elxp3	|- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem elxp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4851	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
2		eqcom 2458	. . . 4 |- ( <. x , y >. = A <-> A = <. x , y >. )
3		opelxp 4864	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( B X. C ) <-> ( x e. B /\ y e. C ) )
4	2, 3	anbi12i 703	. . 3 |- ( ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) <-> ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
5	4	2exbii 1719	. 2 |- ( E. x E. y ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
6	1, 5	bitr4i 256	1 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   <.cop 3974   X. cxp 4832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-opab 4462  df-xp 4840

This theorem is referenced by:  optocl  4911  unixp0  5370