MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elxp Structured version   Unicode version

Theorem elxp 4844
Description: Membership in a Cartesian product. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)
Assertion
Ref Expression
elxp  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y

Proof of Theorem elxp
StepHypRef Expression
1 df-xp 4833 . . 3  |-  ( B  X.  C )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  B  /\  y  e.  C ) }
21eleq2i 2497 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  A  e.  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  e.  C ) } )
3 elopab 4585 . 2  |-  ( A  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  e.  C ) } 
<->  E. x E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
) )
42, 3bitri 249 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755   <.cop 3871   {copab 4337    X. cxp 4825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pr 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-v 2964  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-opab 4339  df-xp 4833
This theorem is referenced by:  elxp2  4845  0nelxp  4854  0nelelxp  4855  rabxp  4862  elxp3  4876  elvv  4884  elvvv  4885  0xp  4904  xpdifid  5254  dfco2a  5326  elxp4  6511  elxp5  6512  opabex3d  6544  opabex3  6545  xp1st  6595  xp2nd  6596  poxp  6673  soxp  6674  xpsnen  7383  xpcomco  7389  xpassen  7393  dfac5lem1  8281  dfac5lem4  8284  axdc4lem  8612  fsum2dlem  13221  fprod2dlem  27338  dfres3  27416  elima4  27437  brcart  27810  brimg  27815  numclwlk1lem2fo  30534  dibelval3  34365
  Copyright terms: Public domain W3C validator