Theorem elxp 4018

Description: Membership in a cross product.

Assertion

Ref	Expression
elxp	|- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem elxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xp 4000	. . 3 |- (B X. C) = {<.x, y>. | (x e. B /\ y e. C)}
2	1	eleq2i 1961	. 2 |- (A e. (B X. C) <-> A e. {<.x, y>. | (x e. B /\ y e. C)})
3		elopab 3559	. 2 |- (A e. {<.x, y>. | (x e. B /\ y e. C)} <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
4	2, 3	bitri 190	1 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  <.cop 3046  {copab 3395   X. cxp 3984

This theorem is referenced by:  elxp2 4019  hbxpOLD 4025  opelxp1 4026  opelxp 4036  opelxpOLD 4037  ralxp 4041  elxp3 4049  elvv 4053  elvvv 4054  xpss 4056  xp0r 4065  0nelxp 4066  0nelelxp 4067  elxp4 4379  elxp5 4380  dfco2a 4394  fnoprv 4946  xpsnen 5494  xpcomen 5498  xpassen 5500  aceq5lem1 5897  aceq5lem4 5900  elreal 6402  ssga 9455  gapmlem 9461  xp1st 10155  xp2nd 10156  poxp 13949  soxp 13950  cbcpcp 14504  opabex3 15701  txmet 15925  heiborlem24 15978

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000

Copyright terms: Public domain