Theorem elvvv 4054

Description: Membership in universal class of ordered triples.

Assertion

Ref	Expression
elvvv	|- (A e. ((_V X. _V) X. _V) <-> E.xE.yE.z A = <.<.x, y>., z>.)

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem elvvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4018	. 2 |- (A e. ((_V X. _V) X. _V) <-> E.wE.z(A = <.w, z>. /\ (w e. (_V X. _V) /\ z e. _V)))
2		anass 487	. . . 4 |- (((A = <.w, z>. /\ w e. (_V X. _V)) /\ z e. _V) <-> (A = <.w, z>. /\ (w e. (_V X. _V) /\ z e. _V)))
3		elvv 4053	. . . . . 6 |- (w e. (_V X. _V) <-> E.xE.y w = <.x, y>.)
4	3	anbi2i 538	. . . . 5 |- ((A = <.w, z>. /\ w e. (_V X. _V)) <-> (A = <.w, z>. /\ E.xE.y w = <.x, y>.))
5		visset 2295	. . . . . 6 |- z e. _V
6	5	biantru 793	. . . . 5 |- ((A = <.w, z>. /\ w e. (_V X. _V)) <-> ((A = <.w, z>. /\ w e. (_V X. _V)) /\ z e. _V))
7		ancom 482	. . . . . . 7 |- ((w = <.x, y>. /\ A = <.w, z>.) <-> (A = <.w, z>. /\ w = <.x, y>.))
8	7	2exbii 1399	. . . . . 6 |- (E.xE.y(w = <.x, y>. /\ A = <.w, z>.) <-> E.xE.y(A = <.w, z>. /\ w = <.x, y>.))
9		19.42vv 1690	. . . . . 6 |- (E.xE.y(A = <.w, z>. /\ w = <.x, y>.) <-> (A = <.w, z>. /\ E.xE.y w = <.x, y>.))
10	8, 9	bitr2i 191	. . . . 5 |- ((A = <.w, z>. /\ E.xE.y w = <.x, y>.) <-> E.xE.y(w = <.x, y>. /\ A = <.w, z>.))
11	4, 6, 10	3bitr3i 198	. . . 4 |- (((A = <.w, z>. /\ w e. (_V X. _V)) /\ z e. _V) <-> E.xE.y(w = <.x, y>. /\ A = <.w, z>.))
12	2, 11	bitr3i 192	. . 3 |- ((A = <.w, z>. /\ (w e. (_V X. _V) /\ z e. _V)) <-> E.xE.y(w = <.x, y>. /\ A = <.w, z>.))
13	12	2exbii 1399	. 2 |- (E.wE.z(A = <.w, z>. /\ (w e. (_V X. _V) /\ z e. _V)) <-> E.wE.zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ A = <.w, z>.))
14		exrot4 1454	. . 3 |- (E.xE.yE.wE.z(w = <.x, y>. /\ A = <.w, z>.) <-> E.wE.zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ A = <.w, z>.))
15		excom 1393	. . . . 5 |- (E.wE.z(w = <.x, y>. /\ A = <.w, z>.) <-> E.zE.w(w = <.x, y>. /\ A = <.w, z>.))
16		opex 3527	. . . . . . 7 |- <.x, y>. e. _V
17		opeq1 3158	. . . . . . . 8 |- (w = <.x, y>. -> <.w, z>. = <.<.x, y>., z>.)
18	17	eqeq2d 1895	. . . . . . 7 |- (w = <.x, y>. -> (A = <.w, z>. <-> A = <.<.x, y>., z>.))
19	16, 18	ceqsexv 2325	. . . . . 6 |- (E.w(w = <.x, y>. /\ A = <.w, z>.) <-> A = <.<.x, y>., z>.)
20	19	exbii 1398	. . . . 5 |- (E.zE.w(w = <.x, y>. /\ A = <.w, z>.) <-> E.z A = <.<.x, y>., z>.)
21	15, 20	bitri 190	. . . 4 |- (E.wE.z(w = <.x, y>. /\ A = <.w, z>.) <-> E.z A = <.<.x, y>., z>.)
22	21	2exbii 1399	. . 3 |- (E.xE.yE.wE.z(w = <.x, y>. /\ A = <.w, z>.) <-> E.xE.yE.z A = <.<.x, y>., z>.)
23	14, 22	bitr3i 192	. 2 |- (E.wE.zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ A = <.w, z>.) <-> E.xE.yE.z A = <.<.x, y>., z>.)
24	1, 13, 23	3bitri 194	1 |- (A e. ((_V X. _V) X. _V) <-> E.xE.yE.z A = <.<.x, y>., z>.)

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292  <.cop 3046   X. cxp 3984

This theorem is referenced by:  ssrelrel 4083  ssrelrelOLD 4084

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000

Copyright terms: Public domain