Theorem elvvuni 4055

Description: An ordered pair contains its union.

Assertion

Ref	Expression
elvvuni	|- (A e. (_V X. _V) -> U.A e. A)

Proof of Theorem elvvuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 4053	. 2 |- (A e. (_V X. _V) <-> E.xE.y A = <.x, y>.)
2		uniop 3555	. . . . 5 |- U.<.x, y>. = {x, y}
3		opi2 3530	. . . . 5 |- {x, y} e. <.x, y>.
4	2, 3	eqeltri 1967	. . . 4 |- U.<.x, y>. e. <.x, y>.
5		unieq 3185	. . . . 5 |- (A = <.x, y>. -> U.A = U.<.x, y>.)
6		id 73	. . . . 5 |- (A = <.x, y>. -> A = <.x, y>.)
7	5, 6	eleq12d 1965	. . . 4 |- (A = <.x, y>. -> (U.A e. A <-> U.<.x, y>. e. <.x, y>.))
8	4, 7	mpbiri 211	. . 3 |- (A = <.x, y>. -> U.A e. A)
9	8	19.23aivv 1675	. 2 |- (E.xE.y A = <.x, y>. -> U.A e. A)
10	1, 9	sylbi 216	1 |- (A e. (_V X. _V) -> U.A e. A)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292  {cpr 3045  <.cop 3046  U.cuni 3177   X. cxp 3984

This theorem is referenced by:  unielxp 5047

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-opab 3396  df-xp 4000

Copyright terms: Public domain