Theorem elvv 4053

Description: Membership in universal class of ordered pairs.

Assertion

Ref	Expression
elvv	|- (A e. (_V X. _V) <-> E.xE.y A = <.x, y>.)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem elvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4018	. 2 |- (A e. (_V X. _V) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. _V /\ y e. _V)))
2		visset 2295	. . . . 5 |- x e. _V
3		visset 2295	. . . . 5 |- y e. _V
4	2, 3	pm3.2i 307	. . . 4 |- (x e. _V /\ y e. _V)
5	4	biantru 793	. . 3 |- (A = <.x, y>. <-> (A = <.x, y>. /\ (x e. _V /\ y e. _V)))
6	5	2exbii 1399	. 2 |- (E.xE.y A = <.x, y>. <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. _V /\ y e. _V)))
7	1, 6	bitr4i 193	1 |- (A e. (_V X. _V) <-> E.xE.y A = <.x, y>.)

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292  <.cop 3046   X. cxp 3984

This theorem is referenced by:  elvvv 4054  elvvuni 4055  xpss 4056  onxpdisjOLD 4069  ssrel 4075  ssrelOLD 4076  elrel 4086  relop 4113  elreldm 4185  dmsnn0 4362  1stval2 5030  2ndval2 5031  1st2val 5038  2nd2val 5039  dfopab2 5053  dfoprab3 5054  fundmen 5487

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000

Copyright terms: Public domain