MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzsubi Structured version   Unicode version

Theorem eluzsubi 11105
Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
eluzaddi.1  |-  M  e.  ZZ
eluzaddi.2  |-  K  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
eluzsubi  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )

Proof of Theorem eluzsubi
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11087 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  N  e.  ZZ )
2 eluzaddi.2 . . 3  |-  K  e.  ZZ
3 zsubcl 10901 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
41, 2, 3sylancl 662 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
5 eluzaddi.1 . . . . 5  |-  M  e.  ZZ
6 zaddcl 10899 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
75, 2, 6mp2an 672 . . . 4  |-  ( M  +  K )  e.  ZZ
87eluz1i 11085 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  N ) )
9 zre 10864 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
105zrei 10866 . . . . . 6  |-  M  e.  RR
112zrei 10866 . . . . . 6  |-  K  e.  RR
12 leaddsub 10024 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( M  +  K
)  <_  N  <->  M  <_  ( N  -  K ) ) )
1310, 11, 12mp3an12 1314 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( M  +  K
)  <_  N  <->  M  <_  ( N  -  K ) ) )
149, 13syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( M  +  K
)  <_  N  <->  M  <_  ( N  -  K ) ) )
1514biimpa 484 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  N )  ->  M  <_  ( N  -  K ) )
168, 15sylbi 195 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  M  <_  ( N  -  K ) )
175eluz1i 11085 . 2  |-  ( ( N  -  K )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( ( N  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( N  -  K
) ) )
184, 16, 17sylanbrc 664 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487    + caddc 9491    <_ cle 9625    - cmin 9801   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079
This theorem is referenced by:  eluzsub  11107
  Copyright terms: Public domain W3C validator