MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzsub Structured version   Unicode version

Theorem eluzsub 11123
Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
eluzsub  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )

Proof of Theorem eluzsub
StepHypRef Expression
1 oveq1 6302 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( M  +  K
)  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )
21fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  ( M  +  K ) )  =  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) )
32eleq2d 2537 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) )  <->  N  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) ) )
4 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
54eleq2d 2537 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
63, 5imbi12d 320 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )  -> 
( N  -  K
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) ) )
7 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) )
87fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )  =  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) )
98eleq2d 2537 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )  <-> 
N  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) ) )
10 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( N  -  K
)  =  ( N  -  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) )
1110eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  <-> 
( N  -  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) )  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
129, 11imbi12d 320 . . 3  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ( N  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) )  ->  ( N  -  if ( K  e.  ZZ ,  K , 
0 ) )  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) ) )
13 0z 10887 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
1413elimel 4008 . . . 4  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
1513elimel 4008 . . . 4  |-  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  e.  ZZ
1614, 15eluzsubi 11121 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) )  ->  ( N  -  if ( K  e.  ZZ ,  K , 
0 ) )  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
176, 12, 16dedth2h 3998 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) )  -> 
( N  -  K
)  e.  ( ZZ>= `  M ) ) )
18173impia 1193 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3945   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   0cc0 9504    + caddc 9507    - cmin 9817   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095
This theorem is referenced by:  fzoss2  11833  expmulnbnd  12278  shftuz  12882  climshftlem  13377  isumshft  13631  efgredleme  16634  uniioombllem3  21862  ulmshftlem  22651  ulmshft  22652  caushft  30181  stoweidlem14  31637
  Copyright terms: Public domain W3C validator