MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzsub Structured version   Unicode version

Theorem eluzsub 10895
Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
eluzsub  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )

Proof of Theorem eluzsub
StepHypRef Expression
1 oveq1 6103 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( M  +  K
)  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )
21fveq2d 5700 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  ( M  +  K ) )  =  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) )
32eleq2d 2510 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) )  <->  N  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) ) )
4 fveq2 5696 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
54eleq2d 2510 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
63, 5imbi12d 320 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )  -> 
( N  -  K
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) ) )
7 oveq2 6104 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) )
87fveq2d 5700 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )  =  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) )
98eleq2d 2510 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )  <-> 
N  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) ) )
10 oveq2 6104 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( N  -  K
)  =  ( N  -  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) )
1110eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  <-> 
( N  -  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) )  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
129, 11imbi12d 320 . . 3  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ( N  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) )  ->  ( N  -  if ( K  e.  ZZ ,  K , 
0 ) )  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) ) )
13 0z 10662 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
1413elimel 3857 . . . 4  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
1513elimel 3857 . . . 4  |-  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  e.  ZZ
1614, 15eluzsubi 10893 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) )  ->  ( N  -  if ( K  e.  ZZ ,  K , 
0 ) )  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
176, 12, 16dedth2h 3847 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) )  -> 
( N  -  K
)  e.  ( ZZ>= `  M ) ) )
18173impia 1184 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ifcif 3796   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   0cc0 9287    + caddc 9290    - cmin 9600   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867
This theorem is referenced by:  fzoss2  11582  expmulnbnd  12001  shftuz  12563  climshftlem  13057  isumshft  13307  efgredleme  16245  uniioombllem3  21070  ulmshftlem  21859  ulmshft  21860  caushft  28662  stoweidlem14  29814
  Copyright terms: Public domain W3C validator