Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eluzrabdioph Structured version   Unicode version

Theorem eluzrabdioph 30371
Description: Diophantine set builder for membership in a fixed upper set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eluzrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  e.  (
ZZ>= `  M ) }  e.  (Dioph `  N
) )
Distinct variable groups:    t, N    t, M
Allowed substitution hint:    A( t)

Proof of Theorem eluzrabdioph
StepHypRef Expression
1 rabdiophlem1 30366 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) A  e.  ZZ )
2 eluz 11095 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  A ) )
32ex 434 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  A ) ) )
43ralimdv 2874 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) A  e.  ZZ  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) ( A  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  A ) ) )
54imp 429 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A. t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) ) A  e.  ZZ )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ( A  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  A ) )
61, 5sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ( A  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  A ) )
7 rabbi 3040 . . . 4  |-  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  M  <_  A )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  e.  (
ZZ>= `  M ) }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  M  <_  A } )
86, 7sylib 196 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  e.  (
ZZ>= `  M ) }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  M  <_  A } )
983adant1 1014 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  e.  (
ZZ>= `  M ) }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  M  <_  A } )
10 ovex 6309 . . . 4  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
11 mzpconstmpt 30304 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  _V  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  M )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
1210, 11mpan 670 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  M )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
13 lerabdioph 30370 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  M )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  M  <_  A }  e.  (Dioph `  N
) )
1412, 13syl3an2 1262 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  M  <_  A }  e.  (Dioph `  N
) )
159, 14eqeltrd 2555 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  e.  (
ZZ>= `  M ) }  e.  (Dioph `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    ^m cmap 7420   1c1 9493    <_ cle 9629   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672  mzPolycmzp 30286  Diophcdioph 30320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374  df-mzpcl 30287  df-mzp 30288  df-dioph 30321
This theorem is referenced by:  elnnrabdioph  30372  rmydioph  30588  expdiophlem2  30596
  Copyright terms: Public domain W3C validator