Theorem eluzp1p1 11115

Description: Membership in the next upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzp1p1	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )

Proof of Theorem eluzp1p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 10911	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( M + 1 ) e. ZZ )
2	1	3ad2ant1 1018	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
3		peano2z 10911	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4	3	3ad2ant2 1019	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
5		zre 10874	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
6		zre 10874	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
7		1re 9598	. . . . . 6 |- 1 e. RR
8		leadd1 10026	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( M <_ N <-> ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
9	7, 8	mp3an3 1314	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M <_ N <-> ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
10	5, 6, 9	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
11	10	biimp3a 1329	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) )
12	2, 4, 11	3jca 1177	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
13		eluz2 11096	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
14		eluz2 11096	. 2 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) <-> ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 266	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ w3a 974   e. wcel 1804   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   1c1 9496   + caddc 9498   <_ cle 9632   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091

This theorem is referenced by:  uzp1  11123  fzp1elp1  11742  seqcl2  12104  seqfveq2  12108  seqf1olem2  12126  seqid2  12132  seqcoll  12491  serf0  13482  efcllem  13691  prmind2  14105  pockthlem  14300  pockthg  14301  prmunb  14309  prmreclem4  14314  dvradcnv  22688  rplogsumlem1  23541  rplogsumlem2  23542  dchrisumlem2  23547  dchrisum0flb  23567  pntlemq  23658  pntlemr  23659  pntlemf  23662  axlowdimlem17  24133  fibp1  28213  subfacp1lem5  28501  fdc  30213  mettrifi  30225  expdiophlem1  30938