Theorem eluzp1m1 10996

Description: Membership in the next upper set of integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzp1m1	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem eluzp1m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 10800	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
2	1	ad2antrl 727	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N ) ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
3		zre 10762	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
4		zre 10762	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
5		1re 9497	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
6		leaddsub 9927	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
7	5, 6	mp3an2 1303	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
8	3, 4, 7	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
9	8	biimpa 484	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M + 1 ) <_ N ) -> M <_ ( N - 1 ) )
10	9	anasss 647	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N ) ) -> M <_ ( N - 1 ) )
11	2, 10	jca 532	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N ) ) -> ( ( N - 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N - 1 ) ) )
12	11	ex 434	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N ) -> ( ( N - 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N - 1 ) ) ) )
13		peano2z 10798	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( M + 1 ) e. ZZ )
14		eluz1 10977	. . . 4 |- ( ( M + 1 ) e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N ) ) )
15	13, 14	syl 16	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N ) ) )
16		eluz1 10977	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( ( N - 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N - 1 ) ) ) )
17	12, 15, 16	3imtr4d 268	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
18	17	imp 429	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   e. wcel 1758   class class class wbr 4401   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   RRcr 9393   1c1 9395   + caddc 9397   <_ cle 9531   - cmin 9707   ZZcz 10758   ZZ>=cuz 10973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974

This theorem is referenced by:  peano2uzr  11022  fzosplitsnm1  11726  fzofzp1b  11743  seqm1  11941  monoord  11954  seqf1olem2  11964  seqid  11969  seqz  11972  serf0  13277  fsumm1  13339  fsumtscopo  13384  fsumparts  13388  isumsplit  13422  climcnds  13433  pockthlem  14085  vdwnnlem2  14176  efgs1b  16355  imasdsf1olem  20081  fprodm1  27622  stoweidlem11  29955  wwlksubclwwlk  30615