MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluznn0 Structured version   Unicode version

Theorem eluznn0 10929
Description: Membership in a nonnegative upper set of integers implies membership in  NN0. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
eluznn0  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN0 )

Proof of Theorem eluznn0
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10900 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
21uztrn2 10883 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   ` cfv 5423   0cc0 9287   NN0cn0 10584   ZZ>=cuz 10866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867
This theorem is referenced by:  elfz2nn0  11485  leexp2r  11926  bernneq3  11997  brfi1uzind  12224  geoserg  13333  geolim2  13336  geomulcvg  13341  mertenslem1  13349  mertenslem2  13350  mertens  13351  efcllem  13368  eftlcl  13396  reeftlcl  13397  eftlub  13398  efsep  13399  ruclem9  13525  smuval2  13683  smupvallem  13684  algfx  13760  eucalgcvga  13766  pcfaclem  13965  prmunb  13980  vdwlem7  14053  vdwlem10  14056  ramtlecl  14066  cpnord  21414  plyco0  21665  radcnvlem1  21883  abelthlem5  21905  abelthlem7  21908  log2tlbnd  22345  ftalem4  22418  ftalem5  22419  bcmono  22621  bposlem2  22629  sseqp1  26783  subfaclim  27081  geomcau  28660  incssnn0  29052  rmspecnonsq  29253  rmspecfund  29255  rmspecpos  29262  rmxypos  29295  jm2.27c  29361  jm3.1  29374  stoweidlem7  29807  uzsubfz0  30210
  Copyright terms: Public domain W3C validator