MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluznn0 Structured version   Unicode version

Theorem eluznn0 10911
Description: Membership in a nonnegative upper set of integers implies membership in  NN0. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
eluznn0  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN0 )

Proof of Theorem eluznn0
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10882 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
21uztrn2 10865 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1755   ` cfv 5406   0cc0 9269   NN0cn0 10566   ZZ>=cuz 10848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849
This theorem is referenced by:  elfz2nn0  11466  leexp2r  11904  bernneq3  11975  brfi1uzind  12202  geoserg  13310  geolim2  13313  geomulcvg  13318  mertenslem1  13326  mertenslem2  13327  mertens  13328  efcllem  13345  eftlcl  13373  reeftlcl  13374  eftlub  13375  efsep  13376  ruclem9  13502  smuval2  13660  smupvallem  13661  algfx  13737  eucalgcvga  13743  pcfaclem  13942  prmunb  13957  vdwlem7  14030  vdwlem10  14033  ramtlecl  14043  cpnord  21250  plyco0  21544  radcnvlem1  21762  abelthlem5  21784  abelthlem7  21787  log2tlbnd  22224  ftalem4  22297  ftalem5  22298  bcmono  22500  bposlem2  22508  sseqp1  26625  subfaclim  26923  geomcau  28496  incssnn0  28889  rmspecnonsq  29090  rmspecfund  29092  rmspecpos  29099  rmxypos  29132  jm2.27c  29198  jm3.1  29211  stoweidlem7  29645  uzsubfz0  30048
  Copyright terms: Public domain W3C validator