MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluznn Structured version   Unicode version

Theorem eluznn 11196
Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in  NN. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluznn  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN )

Proof of Theorem eluznn
StepHypRef Expression
1 nnuz 11161 . 2  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
21uztrn2 11143 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842   ` cfv 5568   1c1 9522   NNcn 10575   ZZ>=cuz 11126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-z 10905  df-uz 11127
This theorem is referenced by:  elfzo1  11901  expmulnbnd  12340  bcval5  12438  isercolllem1  13634  isercoll  13637  o1fsum  13776  climcndslem1  13810  climcndslem2  13811  climcnds  13812  mertenslem2  13844  rpnnen2lem6  14160  rpnnen2lem7  14161  rpnnen2lem9  14163  rpnnen2lem11  14165  pcmpt2  14619  pcmptdvds  14620  prmreclem4  14644  prmreclem5  14645  prmreclem6  14646  vdwnnlem2  14721  2expltfac  14784  1stcelcls  20252  lmnn  21992  cmetcaulem  22017  causs  22027  caubl  22036  caublcls  22037  ovolunlem1a  22197  volsuplem  22255  uniioombllem3  22284  mbfi1fseqlem6  22417  aaliou3lem2  23029  birthdaylem2  23606  lgamgulmlem4  23685  lgamcvg2  23708  chtub  23866  bclbnd  23934  bposlem3  23940  bposlem4  23941  bposlem5  23942  bposlem6  23943  lgsdilem2  23985  chebbnd1lem1  24033  chebbnd1lem2  24034  chebbnd1lem3  24035  dchrisumlema  24052  dchrisumlem2  24054  dchrisumlem3  24055  dchrisum0lem1b  24079  dchrisum0lem1  24080  pntrsumbnd2  24131  pntpbnd1  24150  pntpbnd2  24151  pntlemh  24163  pntlemq  24165  pntlemr  24166  pntlemj  24167  pntlemf  24169  minvecolem3  26192  minvecolem4  26196  h2hcau  26296  h2hlm  26297  chscllem2  26956  sinccvglem  29877  lmclim2  31513  geomcau  31514  heibor1lem  31567  rrncmslem  31590  divcnvg  36982  stoweidlem7  37138  stirlinglem12  37216  fourierdlem103  37341  fourierdlem104  37342
  Copyright terms: Public domain W3C validator