MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluznn Structured version   Unicode version

Theorem eluznn 11143
Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in  NN. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluznn  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN )

Proof of Theorem eluznn
StepHypRef Expression
1 nnuz 11108 . 2  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
21uztrn2 11090 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762   ` cfv 5581   1c1 9484   NNcn 10527   ZZ>=cuz 11073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-z 10856  df-uz 11074
This theorem is referenced by:  elfzo1  11830  expmulnbnd  12255  bcval5  12353  isercolllem1  13438  isercoll  13441  o1fsum  13578  climcndslem1  13615  climcndslem2  13616  climcnds  13617  mertenslem2  13648  rpnnen2lem6  13805  rpnnen2lem7  13806  rpnnen2lem9  13808  rpnnen2lem11  13810  pcmpt2  14262  pcmptdvds  14263  prmreclem4  14287  prmreclem5  14288  prmreclem6  14289  vdwnnlem2  14364  2expltfac  14426  1stcelcls  19723  lmnn  21432  cmetcaulem  21457  causs  21467  caubl  21476  caublcls  21477  ovolunlem1a  21637  volsuplem  21695  uniioombllem3  21724  mbfi1fseqlem6  21857  aaliou3lem2  22468  birthdaylem2  23005  chtub  23210  bclbnd  23278  bposlem3  23284  bposlem4  23285  bposlem5  23286  bposlem6  23287  lgsdilem2  23329  chebbnd1lem1  23377  chebbnd1lem2  23378  chebbnd1lem3  23379  dchrisumlema  23396  dchrisumlem2  23398  dchrisumlem3  23399  dchrisum0lem1b  23423  dchrisum0lem1  23424  pntrsumbnd2  23475  pntpbnd1  23494  pntpbnd2  23495  pntlemh  23507  pntlemq  23509  pntlemr  23510  pntlemj  23511  pntlemf  23513  minvecolem3  25456  minvecolem4  25460  h2hcau  25560  h2hlm  25561  chscllem2  26220  divcnvg  31126  stoweidlem7  31264
  Copyright terms: Public domain W3C validator