MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluznn Structured version   Unicode version

Theorem eluznn 10946
Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in  NN. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluznn  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN )

Proof of Theorem eluznn
StepHypRef Expression
1 nnuz 10917 . 2  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
21uztrn2 10899 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   ` cfv 5439   1c1 9304   NNcn 10343   ZZ>=cuz 10882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-z 10668  df-uz 10883
This theorem is referenced by:  elfzo1  11616  expmulnbnd  12017  bcval5  12115  isercolllem1  13163  isercoll  13166  o1fsum  13297  climcndslem1  13333  climcndslem2  13334  climcnds  13335  mertenslem2  13366  rpnnen2lem6  13523  rpnnen2lem7  13524  rpnnen2lem9  13526  rpnnen2lem11  13528  pcmpt2  13976  pcmptdvds  13977  prmreclem4  14001  prmreclem5  14002  prmreclem6  14003  vdwnnlem2  14078  2expltfac  14140  1stcelcls  19087  lmnn  20796  cmetcaulem  20821  causs  20831  caubl  20840  caublcls  20841  ovolunlem1a  21001  volsuplem  21058  uniioombllem3  21087  mbfi1fseqlem6  21220  aaliou3lem2  21831  birthdaylem2  22368  chtub  22573  bclbnd  22641  bposlem3  22647  bposlem4  22648  bposlem5  22649  bposlem6  22650  lgsdilem2  22692  chebbnd1lem1  22740  chebbnd1lem2  22741  chebbnd1lem3  22742  dchrisumlema  22759  dchrisumlem2  22761  dchrisumlem3  22762  dchrisum0lem1b  22786  dchrisum0lem1  22787  pntrsumbnd2  22838  pntpbnd1  22857  pntpbnd2  22858  pntlemh  22870  pntlemq  22872  pntlemr  22873  pntlemj  22874  pntlemf  22876  minvecolem3  24299  minvecolem4  24303  h2hcau  24403  h2hlm  24404  chscllem2  25063  stoweidlem7  29828
  Copyright terms: Public domain W3C validator