MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzle Structured version   Unicode version

Theorem eluzle 10861
Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzle  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )

Proof of Theorem eluzle
StepHypRef Expression
1 eluz2 10855 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
21simp3bi 998 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   ` cfv 5406    <_ cle 9407   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-fv 5414  df-ov 6083  df-neg 9586  df-z 10635  df-uz 10850
This theorem is referenced by:  uztrn  10865  uzneg  10867  uzss  10869  uz11  10871  eluzp1l  10873  uzm1  10879  uzin  10881  uzind4  10900  uzwo  10905  uzwoOLD  10906  uzinfmi  10922  uzsupss  10935  elfz5  11432  elfzle1  11441  elfzle2  11442  elfzle3  11444  elfz2nn0  11467  uzsplit  11514  uzdisj  11515  uznfz  11527  fzouzdisj  11569  expmulnbnd  11980  seqcoll  12200  rexuzre  12824  rlimclim1  13007  isercoll  13129  iseralt  13146  o1fsum  13259  mertenslem1  13327  efcllem  13346  rpnnen2lem9  13488  smuval2  13661  smupvallem  13662  hashdvds  13833  pcmpt2  13938  pcfaclem  13943  pcfac  13944  vdwlem6  14030  ramtlecl  14044  prmlem1  14118  prmlem2  14130  znfld  17835  lmnn  20616  mbflimsup  20986  mbfi1fseqlem6  21040  dvfsumge  21336  plyco0  21545  coeeulem  21577  radcnvlem2  21764  log2tlbnd  22225  chtub  22436  chpval2  22442  chpchtsum  22443  bcmax  22502  bpos1lem  22506  bpos1  22507  bposlem3  22510  bposlem4  22511  bposlem5  22512  bposlem6  22513  lgslem1  22520  lgsdirprm  22553  lgseisen  22577  m1lgs  22586  dchrisumlema  22622  dchrisumlem2  22624  dchrisum0lem1  22650  axlowdimlem3  23013  axlowdimlem6  23016  axlowdimlem7  23017  axlowdimlem16  23026  axlowdimlem17  23027  constr3trllem3  23361  minvecolem3  24100  minvecolem4  24104  rnlogblem  26312  lgamgulmlem4  26866  lgamcvg2  26889  subfacval3  26925  climuzcnv  27163  fprodeq0  27333  fdc  28485  jm2.24nn  29147  jm2.23  29190  expdiophlem1  29215  fmul01lt1lem1  29610  climsuselem1  29626  climsuse  29627  stoweidlem11  29652  stirlinglem11  29725  uzsubfz0  30051
  Copyright terms: Public domain W3C validator