MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzle Structured version   Unicode version

Theorem eluzle 11094
Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzle  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )

Proof of Theorem eluzle
StepHypRef Expression
1 eluz2 11088 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
21simp3bi 1011 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   class class class wbr 4439   ` cfv 5570    <_ cle 9618   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-ov 6273  df-neg 9799  df-z 10861  df-uz 11083
This theorem is referenced by:  uztrn  11098  uzneg  11100  uzss  11102  uz11  11104  eluzp1l  11106  uzm1  11112  uzin  11114  uzind4  11140  uzwo  11145  uzwoOLD  11146  uzinfmi  11162  uzsupss  11175  zgt1rpn0n1  11258  elfz5  11683  elfzle1  11692  elfzle2  11693  elfzle3  11695  uzsplit  11754  uzdisj  11755  uznfz  11765  elfz2nn0  11773  uzsubfz0  11786  nn0disj  11795  fzouzdisj  11838  expmulnbnd  12280  seqcoll  12496  swrdlen2  12661  swrdfv2  12662  rexuzre  13267  rlimclim1  13450  isercoll  13572  iseralt  13589  o1fsum  13709  mertenslem1  13775  fprodeq0  13861  efcllem  13895  rpnnen2lem9  14040  smuval2  14216  smupvallem  14217  hashdvds  14389  pcmpt2  14496  pcfaclem  14501  pcfac  14502  vdwlem6  14588  ramtlecl  14602  prmlem1  14677  prmlem2  14689  znfld  18772  lmnn  21868  mbflimsup  22239  mbfi1fseqlem6  22293  dvfsumge  22589  plyco0  22755  coeeulem  22787  radcnvlem2  22975  log2tlbnd  23473  chtub  23685  chpval2  23691  chpchtsum  23692  bcmax  23751  bpos1lem  23755  bpos1  23756  bposlem3  23759  bposlem4  23760  bposlem5  23761  bposlem6  23762  lgslem1  23769  lgsdirprm  23802  lgseisen  23826  m1lgs  23835  dchrisumlema  23871  dchrisumlem2  23873  dchrisum0lem1  23899  axlowdimlem3  24449  axlowdimlem6  24452  axlowdimlem7  24453  axlowdimlem16  24462  axlowdimlem17  24463  constr3trllem3  24854  minvecolem3  25990  minvecolem4  25994  lgamgulmlem4  28838  lgamcvg2  28861  subfacval3  28897  climuzcnv  29301  fdc  30478  jm2.24nn  31136  jm2.23  31177  expdiophlem1  31202  isprm7  31433  hashnzfz2  31467  bccbc  31491  binomcxplemnn0  31495  fzdifsuc2  31751  fmul01lt1lem1  31817  climsuselem1  31852  climsuse  31853  ioodvbdlimc1lem2  31968  ioodvbdlimc2lem  31970  iblspltprt  32011  itgspltprt  32017  stoweidlem11  32032  stirlinglem11  32105  fourierdlem79  32207  fourierdlem103  32231  fourierdlem104  32232  nnolog2flm1  33465
  Copyright terms: Public domain W3C validator