MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzle Unicode version

Theorem eluzle 10454
Description: Implication of membership in a set of upper integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzle  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )

Proof of Theorem eluzle
StepHypRef Expression
1 eluz2 10450 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
21simp3bi 974 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413    <_ cle 9077   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444
This theorem is referenced by:  uztrn  10458  uzneg  10460  uzss  10462  uz11  10464  eluzp1l  10466  uzm1  10472  uzin  10474  uzind4  10490  uzwo  10495  uzwoOLD  10496  uzinfmi  10511  uzsupss  10524  elfz5  11007  elfzle1  11016  elfzle2  11017  elfzle3  11019  elfz2nn0  11038  uzsplit  11073  uzdisj  11074  uznfz  11085  fzouzdisj  11124  expmulnbnd  11466  seqcoll  11667  rexuzre  12111  rlimclim1  12294  isercoll  12416  iseralt  12433  o1fsum  12547  mertenslem1  12616  efcllem  12635  rpnnen2lem9  12777  smuval2  12949  smupvallem  12950  hashdvds  13119  pcmpt2  13217  pcfaclem  13222  pcfac  13223  vdwlem6  13309  ramtlecl  13323  prmlem1  13385  prmlem2  13397  znfld  16796  lmnn  19169  mbflimsup  19511  mbfi1fseqlem6  19565  dvfsumge  19859  plyco0  20064  coeeulem  20096  radcnvlem2  20283  log2tlbnd  20738  chtub  20949  chpval2  20955  chpchtsum  20956  bcmax  21015  bpos1lem  21019  bpos1  21020  bposlem3  21023  bposlem4  21024  bposlem5  21025  bposlem6  21026  lgslem1  21033  lgsdirprm  21066  lgseisen  21090  m1lgs  21099  dchrisumlema  21135  dchrisumlem2  21137  dchrisum0lem1  21163  constr3trllem3  21592  minvecolem3  22331  minvecolem4  22335  rnlogblem  24352  lgamgulmlem4  24769  lgamcvg2  24792  subfacval3  24828  climuzcnv  25061  fprodeq0  25252  axlowdimlem3  25787  axlowdimlem6  25790  axlowdimlem7  25791  axlowdimlem16  25800  axlowdimlem17  25801  fdc  26339  jm2.24nn  26914  jm2.23  26957  expdiophlem1  26982  fmul01lt1lem1  27581  climsuselem1  27600  climsuse  27601  stoweidlem11  27627  stirlinglem11  27700
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-neg 9250  df-z 10239  df-uz 10445
  Copyright terms: Public domain W3C validator