MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzle Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem eluzle 11199
Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzle  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )

Proof of Theorem eluzle
StepHypRef Expression
1 eluz2 11193 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
21simp3bi 1031 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1897   class class class wbr 4415   ` cfv 5600    <_ cle 9701   ZZcz 10965   ZZ>=cuz 11187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-fv 5608  df-ov 6317  df-neg 9888  df-z 10966  df-uz 11188
This theorem is referenced by:  uztrn  11203  uzneg  11205  uzss  11207  uz11  11209  eluzp1l  11211  uzm1  11217  uzin  11219  uzind4  11245  uzwo  11250  uzinfmiOLD  11267  uzsupss  11284  zgt1rpn0n1  11368  elfz5  11820  elfzle1  11830  elfzle2  11831  elfzle3  11833  uzsplit  11894  uzdisj  11895  uznfz  11905  elfz2nn0  11913  uzsubfz0  11927  nn0disj  11936  fzouzdisj  11984  expmulnbnd  12435  seqcoll  12659  swrdlen2  12837  swrdfv2  12838  rexuzre  13463  rlimclim1  13657  isercoll  13779  iseralt  13799  o1fsum  13921  mertenslem1  13988  fprodeq0  14077  efcllem  14180  rpnnen2lem9  14323  smuval2  14504  smupvallem  14505  hashdvds  14771  pcmpt2  14886  pcfaclem  14891  pcfac  14892  vdwlem6  14984  ramtlecl  14999  prmlem1  15127  prmlem2  15139  znfld  19179  lmnn  22281  mbflimsup  22671  mbflimsupOLD  22672  mbfi1fseqlem6  22726  dvfsumge  23022  plyco0  23194  coeeulem  23226  radcnvlem2  23417  log2tlbnd  23919  lgamgulmlem4  24005  lgamcvg2  24028  chtub  24188  chpval2  24194  chpchtsum  24195  bcmax  24254  bpos1lem  24258  bpos1  24259  bposlem3  24262  bposlem4  24263  bposlem5  24264  bposlem6  24265  lgslem1  24272  lgsdirprm  24305  lgseisen  24329  m1lgs  24338  dchrisumlema  24374  dchrisumlem2  24376  dchrisum0lem1  24402  axlowdimlem3  25022  axlowdimlem6  25025  axlowdimlem7  25026  axlowdimlem16  25035  axlowdimlem17  25036  constr3trllem3  25428  minvecolem3  26566  minvecolem4  26570  minvecolem3OLD  26576  minvecolem4OLD  26580  subfacval3  29960  climuzcnv  30363  poimirlem29  32013  fdc  32118  jm2.24nn  35853  jm2.23  35895  expdiophlem1  35920  isprm7  36703  hashnzfz2  36713  bccbc  36737  binomcxplemnn0  36741  fzdifsuc2  37567  uzfissfz  37586  iuneqfzuzlem  37594  ssuzfz  37609  fmul01lt1lem1  37699  climsuselem1  37723  climsuse  37724  ioodvbdlimc1lem2  37841  ioodvbdlimc1lem2OLD  37843  ioodvbdlimc2lem  37845  ioodvbdlimc2lemOLD  37846  iblspltprt  37887  itgspltprt  37893  stoweidlem11  37908  stirlinglem11  37983  fourierdlem79  38086  fourierdlem103  38110  fourierdlem104  38111  gboage9  38902  bgoldbnnsum3prm  38936  nnolog2flm1  40673
  Copyright terms: Public domain W3C validator