Theorem eluzfz2 11445

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 10857	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		uzid 10862	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
4		eluzfz 11434	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpdan 661	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1755   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848   ...cfz 11423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-pre-lttri 9343

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-neg 9585  df-z 10634  df-uz 10849  df-fz 11424

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  11446  fzopth  11481  fzsuc  11488  fseq1p1m1  11517  fzm1  11523  fzneuz  11524  fzoend  11601  uzindi  11786  seqcl2  11807  seqfveq2  11811  seqshft2  11815  monoord  11819  monoord2  11820  seqsplit  11822  seqcaopr3  11824  seqf1olem2a  11827  seqf1olem1  11828  seqf1olem2  11829  seqid2  11835  seqhomo  11836  seqcoll  12199  seqcoll2  12200  swrdid  12304  wrdeqcats1  12351  wrdeqs1cat  12352  swrdccatin12lem2  12363  swrdccatin12lem3  12364  swrdccatin12  12365  swrdccat3b  12370  splid  12378  spllen  12379  splval2  12382  summolem2a  13175  fsumm1  13203  fsumtscopo  13247  fsumtscopo2  13248  fsumparts  13251  sadadd  13645  sadass  13649  smuval2  13660  vdwlem6  14029  efgredleme  16219  efgredlemc  16221  efgcpbllemb  16231  frgpuplem  16248  iscmet3lem1  20643  iscmet3lem2  20644  voliunlem1  20872  volsup  20878  mbfi1fseqlem3  21036  wilthlem2  22291  wilthlem3  22292  chtub  22435  dchrisum0flb  22643  pntpbnd1  22719  pntlemf  22738  spthonepeq  23308  constr3pthlem3  23365  eupap1  23419  konigsberg  23430  ballotlemfc0  26722  ballotlemfcc  26723  ballotlemfrci  26757  gsumnunsn  26784  wrdsplex  26786  cvmliftlem10  27030  supfz  27232  prodfn0  27255  prodfrec  27256  prodmolem2a  27293  fprodm1  27323  volsupnfl  28277  sdclem2  28479  fdc  28482  mettrifi  28494  fmul01lt1lem2  29608  stoweidlem3  29641  stoweidlem11  29649  stoweidlem17  29655  stoweidlem34  29672  ssfz12  30040  elfzubelfz  30044  elfzlble  30051  wwlknext  30199