Theorem eluzfz2 11690

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 11087	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		uzid 11092	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
4		eluzfz 11679	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpdan 668	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-neg 9804  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  11691  elfzubelfz  11694  fzopth  11716  fzsuc  11723  fseq1p1m1  11748  fzm1  11754  fzneuz  11755  fzoend  11867  uzindi  12055  seqcl2  12089  seqfveq2  12093  seqshft2  12097  monoord  12101  monoord2  12102  seqsplit  12104  seqcaopr3  12106  seqf1olem2a  12109  seqf1olem1  12110  seqf1olem2  12111  seqid2  12117  seqhomo  12118  seqcoll  12474  seqcoll2  12475  swrdid  12611  wrdeqcats1  12658  wrdeqs1cat  12659  swrdccatin12lem2  12673  swrdccatin12lem3  12674  swrdccatin12  12675  swrdccat3b  12680  splid  12688  spllen  12689  splval2  12692  summolem2a  13496  fsumm1  13525  telfsumo  13575  telfsumo2  13576  fsumparts  13579  sadadd  13972  sadass  13976  smuval2  13987  vdwlem6  14359  efgredleme  16557  efgredlemc  16559  efgcpbllemb  16569  frgpuplem  16586  telgsumfzslem  16808  telgsumfzs  16809  pmatcollpw3fi1lem1  19054  chfacfisf  19122  chfacfisfcpmat  19123  iscmet3lem1  21465  iscmet3lem2  21466  voliunlem1  21695  volsup  21701  mbfi1fseqlem3  21859  wilthlem2  23071  wilthlem3  23072  chtub  23215  dchrisum0flb  23423  pntpbnd1  23499  pntlemf  23518  spthonepeq  24265  constr3pthlem3  24333  wwlknext  24400  eupap1  24652  konigsberg  24663  ballotlemfc0  28071  ballotlemfcc  28072  ballotlemfrci  28106  gsumnunsn  28133  wrdsplex  28135  cvmliftlem10  28379  supfz  28582  prodfn0  28605  prodfrec  28606  prodmolem2a  28643  fprodm1  28673  volsupnfl  29636  sdclem2  29838  fdc  29841  mettrifi  29853  fmul01lt1lem2  31135  stoweidlem3  31303  stoweidlem11  31311  stoweidlem17  31317  stoweidlem34  31334  fourierdlem15  31422  fourierdlem25  31432  fourierdlem50  31457  fourierdlem52  31459  fourierdlem54  31461  fourierdlem65  31472  fourierdlem81  31488  fourierdlem92  31499  fourierdlem102  31509  fourierdlem111  31518  fourierdlem113  31520  fourierdlem114  31521  ssfz12  31799  elfzlble  31805