Theorem eluzfz2 11021

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 10452	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		uzid 10456	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
4		eluzfz 11010	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpdan 650	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  11022  fzopth  11045  fzsuc  11052  fseq1p1m1  11077  fzm1  11082  fzneuz  11083  fzoend  11142  uzindi  11275  seqcl2  11296  seqfveq2  11300  seqshft2  11304  monoord  11308  monoord2  11309  seqsplit  11311  seqcaopr3  11313  seqf1olem2a  11316  seqf1olem1  11317  seqf1olem2  11318  seqid2  11324  seqhomo  11325  seqcoll  11667  seqcoll2  11668  swrdid  11727  splid  11737  spllen  11738  splval2  11741  wrdeqcats1  11743  wrdeqs1cat  11744  summolem2a  12464  fsumm1  12492  fsumtscopo  12536  fsumtscopo2  12537  fsumparts  12540  sadadd  12934  sadass  12938  smuval2  12949  vdwlem6  13309  efgredleme  15330  efgredlemc  15332  efgcpbllemb  15342  frgpuplem  15359  iscmet3lem1  19197  iscmet3lem2  19198  voliunlem1  19397  volsup  19403  mbfi1fseqlem3  19562  wilthlem2  20805  wilthlem3  20806  chtub  20949  dchrisum0flb  21157  pntpbnd1  21233  pntlemf  21252  spthonepeq  21540  constr3pthlem3  21597  eupap1  21651  konigsberg  21662  ballotlemfc0  24703  ballotlemfcc  24704  ballotlemfrci  24738  cvmliftlem10  24934  supfz  25152  prodfn0  25175  prodfrec  25176  prodmolem2a  25213  fprodm1  25243  volsupnfl  26150  sdclem2  26336  fdc  26339  mettrifi  26353  fmul01lt1lem2  27582  stoweidlem3  27619  stoweidlem11  27627  stoweidlem17  27633  stoweidlem34  27650  ssfz12  27976  swrdccatin12lem1  28019  swrdccatin12lem4  28025  swrdccat3b  28031

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-neg 9250  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000