Theorem eluzfz1 11702

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 11095	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		uzid 11104	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
4		eluzfz 11692	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpancom 669	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1804   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090   ...cfz 11681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-pre-lttri 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-neg 9813  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682

This theorem is referenced by:  elfz3  11705  fzn0  11709  fzopth  11729  seqcl  12106  seqfveq  12110  seqshft2  12112  monoord  12116  monoord2  12117  seqcaopr3  12121  seqf1olem2a  12124  seqf1olem2  12126  seqhomo  12133  seqcoll  12491  swrd0val  12627  splid  12708  spllen  12709  splfv1  12710  splfv2a  12711  splval2  12712  fsum1p  13547  telfsumo  13595  telfsumo2  13596  fsumparts  13599  mertenslem2  13673  phicl2  14175  eulerthlem2  14189  4sqlem19  14358  vdwlem1  14376  vdwlem6  14381  vdw  14389  gsumval2  15781  efgsdmi  16624  efgredleme  16635  efgredlemc  16637  efgcpbllemb  16647  frgpuplem  16664  gsumval3OLD  16782  gsumval3  16785  telgsumfzslem  16891  telgsumfzs  16892  pmatcollpw3fi1lem1  19160  chfacfisf  19228  chfacfisfcpmat  19229  cpmadugsumlemF  19250  imasdsf1olem  20749  ovoliunlem1  21786  mbfi1fseqlem3  21997  cxpeq  23003  ppiltx  23323  logexprlim  23372  dchrmusum2  23551  dchrvmasum2lem  23553  mudivsum  23587  mulogsum  23589  mulog2sumlem2  23592  axlowdimlem13  24129  axlowdim1  24134  axlowdim  24136  constr3pthlem3  24529  eupath2  24852  konigsberg  24859  ballotlem4  28310  ballotlemic  28318  ballotlem1c  28319  ballotlem1ri  28346  wrdsplex  28368  subfacp1lem1  28496  subfacp1lem5  28501  subfacp1lem6  28502  cvmliftlem10  28612  cvmliftlem13  28614  inffz  28981  prodfn0  29003  prodfrec  29004  fprod1p  29072  fdc  30213  mettrifi  30225  fmul01lt1lem1  31506  itgspltprt  31668  stoweidlem17  31688  stoweidlem20  31691  stoweidlem34  31705  fourierdlem15  31793  fourierdlem48  31826  fourierdlem50  31828  fourierdlem52  31830  fourierdlem54  31832  fourierdlem64  31842  fourierdlem81  31859  fourierdlem102  31880  fourierdlem103  31881  fourierdlem104  31882  fourierdlem111  31889  fourierdlem114  31892  ssfz12  32168