Theorem eluzfz1 11693

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 11087	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		uzid 11096	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
4		eluzfz 11683	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpancom 669	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-pre-lttri 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-neg 9808  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673

This theorem is referenced by:  elfz3  11696  fzn0  11700  fzopth  11720  elfzp12  11757  seqcl  12095  seqfveq  12099  seqshft2  12101  monoord  12105  monoord2  12106  seqcaopr3  12110  seqf1olem2a  12113  seqf1olem2  12115  seqhomo  12122  bcn0  12356  seqcoll  12478  swrd0val  12611  swrdid  12615  wrdeqcats1  12662  wrdeqs1cat  12663  splid  12692  spllen  12693  splfv1  12694  splfv2a  12695  splval2  12696  fsum1p  13531  telfsumo  13579  telfsumo2  13580  fsumparts  13583  mertenslem2  13657  phicl2  14157  eulerthlem2  14171  4sqlem19  14340  vdwlem1  14358  vdwlem6  14363  vdw  14371  gsumval2  15835  efgsdmi  16556  efgredleme  16567  efgredlemc  16569  efgcpbllemb  16579  frgpuplem  16596  gsumval3OLD  16711  gsumval3  16714  telgsumfzslem  16820  telgsumfzs  16821  pmatcollpw3fi1lem1  19082  chfacfisf  19150  chfacfisfcpmat  19151  cpmadugsumlemF  19172  imasdsf1olem  20639  ovoliunlem1  21676  mbfi1fseqlem3  21887  cxpeq  22887  ppiltx  23207  logexprlim  23256  dchrmusum2  23435  dchrvmasum2lem  23437  mudivsum  23471  mulogsum  23473  mulog2sumlem2  23476  axlowdimlem13  23961  axlowdim1  23966  axlowdim  23968  spthonepeq  24293  constr3pthlem3  24361  eupath2  24684  konigsberg  24691  ballotlem4  28105  ballotlemic  28113  ballotlem1c  28114  ballotlem1ri  28141  wrdsplex  28163  subfacp1lem1  28291  subfacp1lem5  28296  subfacp1lem6  28297  cvmliftlem10  28407  cvmliftlem13  28409  inffz  28611  prodfn0  28633  prodfrec  28634  fprod1p  28702  fdc  29869  mettrifi  29881  fmul01lt1lem1  31162  itgspltprt  31325  stoweidlem17  31345  stoweidlem20  31348  stoweidlem34  31362  fourierdlem15  31450  fourierdlem48  31483  fourierdlem50  31485  fourierdlem52  31487  fourierdlem54  31489  fourierdlem64  31499  fourierdlem81  31516  fourierdlem102  31537  fourierdlem103  31538  fourierdlem104  31539  fourierdlem111  31546  fourierdlem114  31549  ssfz12  31825