Theorem eluzfz1 11450

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 10858	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		uzid 10867	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
4		eluzfz 11440	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpancom 669	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1756   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-pre-lttri 9348

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-neg 9590  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430

This theorem is referenced by:  elfz3  11453  fzn0  11456  fzopth  11487  elfzp12  11531  seqcl  11818  seqfveq  11822  seqshft2  11824  monoord  11828  monoord2  11829  seqcaopr3  11833  seqf1olem2a  11836  seqf1olem2  11838  seqhomo  11845  bcn0  12078  seqcoll  12208  swrd0val  12309  swrdid  12313  wrdeqcats1  12360  wrdeqs1cat  12361  splid  12387  spllen  12388  splfv1  12389  splfv2a  12390  splval2  12391  fsum1p  13214  fsumtscopo  13257  fsumtscopo2  13258  fsumparts  13261  mertenslem2  13337  phicl2  13835  eulerthlem2  13849  4sqlem19  14016  vdwlem1  14034  vdwlem6  14039  vdw  14047  gsumval2  15504  efgsdmi  16220  efgredleme  16231  efgredlemc  16233  efgcpbllemb  16243  frgpuplem  16260  gsumval3OLD  16373  gsumval3  16376  imasdsf1olem  19923  ovoliunlem1  20960  mbfi1fseqlem3  21170  cxpeq  22170  ppiltx  22490  logexprlim  22539  dchrmusum2  22718  dchrvmasum2lem  22720  mudivsum  22754  mulogsum  22756  mulog2sumlem2  22759  axlowdimlem13  23151  axlowdim1  23156  axlowdim  23158  spthonepeq  23437  constr3pthlem3  23494  eupath2  23552  konigsberg  23559  ballotlem4  26833  ballotlemic  26841  ballotlem1c  26842  ballotlem1ri  26869  wrdsplex  26891  subfacp1lem1  27019  subfacp1lem5  27024  subfacp1lem6  27025  cvmliftlem10  27135  cvmliftlem13  27137  inffz  27338  prodfn0  27360  prodfrec  27361  fprod1p  27429  fdc  28594  mettrifi  28606  fmul01lt1lem1  29718  stoweidlem17  29765  stoweidlem20  29768  stoweidlem34  29782  ssfz12  30150