Theorem eluzfz1 11445

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 10854	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		uzid 10863	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
4		eluzfz 11435	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpancom 662	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1755   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   ...cfz 11424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-pre-lttri 9344

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-neg 9586  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425

This theorem is referenced by:  elfz3  11448  fzn0  11451  fzopth  11482  elfzp12  11523  seqcl  11810  seqfveq  11814  seqshft2  11816  monoord  11820  monoord2  11821  seqcaopr3  11825  seqf1olem2a  11828  seqf1olem2  11830  seqhomo  11837  bcn0  12070  seqcoll  12200  swrd0val  12301  swrdid  12305  wrdeqcats1  12352  wrdeqs1cat  12353  splid  12379  spllen  12380  splfv1  12381  splfv2a  12382  splval2  12383  fsum1p  13206  fsumtscopo  13248  fsumtscopo2  13249  fsumparts  13252  mertenslem2  13328  phicl2  13826  eulerthlem2  13840  4sqlem19  14007  vdwlem1  14025  vdwlem6  14030  vdw  14038  gsumval2  15493  efgsdmi  16209  efgredleme  16220  efgredlemc  16222  efgcpbllemb  16232  frgpuplem  16249  gsumval3OLD  16362  gsumval3  16365  imasdsf1olem  19790  ovoliunlem1  20827  mbfi1fseqlem3  21037  cxpeq  22080  ppiltx  22400  logexprlim  22449  dchrmusum2  22628  dchrvmasum2lem  22630  mudivsum  22664  mulogsum  22666  mulog2sumlem2  22669  axlowdimlem13  23023  axlowdim1  23028  axlowdim  23030  spthonepeq  23309  constr3pthlem3  23366  eupath2  23424  konigsberg  23431  ballotlem4  26729  ballotlemic  26737  ballotlem1c  26738  ballotlem1ri  26765  wrdsplex  26787  subfacp1lem1  26915  subfacp1lem5  26920  subfacp1lem6  26921  cvmliftlem10  27031  cvmliftlem13  27033  inffz  27234  prodfn0  27256  prodfrec  27257  fprod1p  27325  fdc  28485  mettrifi  28497  fmul01lt1lem1  29610  stoweidlem17  29658  stoweidlem20  29661  stoweidlem34  29675  ssfz12  30043