MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzelre Structured version   Unicode version

Theorem eluzelre 11083
Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluzelre  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )

Proof of Theorem eluzelre
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11082 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
21zred 10957 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   ` cfv 5581   RRcr 9482   ZZ>=cuz 11073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-fv 5589  df-ov 6280  df-neg 9799  df-z 10856  df-uz 11074
This theorem is referenced by:  eluzelcn  11084  uzm1  11103  uzsplit  11741  fzm1  11749  fzneuz  11750  fzouzsplit  11819  fzouzdisj  11820  eluzgtdifelfzo  11837  elfzonelfzo  11871  om2uzlt2i  12020  bernneq3  12251  seqcoll  12467  seqcoll2  12468  rexuzre  13136  rlimclim1  13319  climrlim2  13321  isprm5  14103  phibndlem  14150  dfphi2  14154  pclem  14212  pcmpt  14261  pockthg  14274  prmlem1  14442  prmlem2  14454  mtest  22528  isppw  23111  chtdif  23155  chtub  23210  fsumvma2  23212  chpval2  23216  bpos1lem  23280  bpos1  23281  bposlem6  23287  chebbnd1lem1  23377  dchrisumlem2  23398  axlowdimlem16  23931  axlowdimlem17  23932  extwwlkfablem1  24739  extwwlkfablem2  24743  fzspl  27254  supfz  28570  nn0prpwlem  29706  rmspecsqrnq  30435  rmspecnonsq  30436  rmspecfund  30438  rmspecpos  30445  rmym1  30464  rmyluc  30466  rmxypos  30478  ltrmynn0  30479  ltrmxnn0  30480  jm2.24nn  30490  jm2.17a  30491  jm2.17b  30492  jm2.17c  30493  jm3.1lem1  30554  jm3.1lem2  30555  climsuselem1  31106  climsuse  31107  ioodvbdlimc1lem2  31219  ioodvbdlimc2lem  31221  itgspltprt  31254  stoweidlem14  31271  wallispilem3  31324  stirlinglem11  31341  fourierdlem103  31467  fourierdlem104  31468
  Copyright terms: Public domain W3C validator