MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzelre Structured version   Unicode version

Theorem eluzelre 11102
Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluzelre  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )

Proof of Theorem eluzelre
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11101 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
21zred 10976 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804   ` cfv 5578   RRcr 9494   ZZ>=cuz 11092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-fv 5586  df-ov 6284  df-neg 9813  df-z 10872  df-uz 11093
This theorem is referenced by:  eluzelcn  11103  uzm1  11122  uzsplit  11761  fzm1  11769  fzneuz  11770  fzouzsplit  11842  fzouzdisj  11843  eluzgtdifelfzo  11860  elfzonelfzo  11894  om2uzlt2i  12044  bernneq3  12276  seqcoll  12494  seqcoll2  12495  rexuzre  13167  rlimclim1  13350  climrlim2  13352  isprm5  14235  phibndlem  14282  dfphi2  14286  pclem  14344  pcmpt  14393  pockthg  14406  prmlem1  14575  prmlem2  14587  mtest  22777  isppw  23366  chtdif  23410  chtub  23465  fsumvma2  23467  chpval2  23471  bpos1lem  23535  bpos1  23536  bposlem6  23542  chebbnd1lem1  23632  dchrisumlem2  23653  axlowdimlem16  24238  axlowdimlem17  24239  extwwlkfablem2  25056  fzspl  27576  supfz  29085  nn0prpwlem  30116  rmspecsqrtnq  30818  rmspecnonsq  30819  rmspecfund  30821  rmspecpos  30828  rmxypos  30861  ltrmynn0  30862  ltrmxnn0  30863  jm2.24nn  30873  jm2.17a  30874  jm2.17b  30875  jm2.17c  30876  jm3.1lem1  30935  jm3.1lem2  30936  isprm7  31168  climsuselem1  31567  climsuse  31568  ioodvbdlimc1lem2  31683  ioodvbdlimc2lem  31685  itgspltprt  31732  stoweidlem14  31750  wallispilem3  31803  stirlinglem11  31820  fourierdlem103  31946  fourierdlem104  31947
  Copyright terms: Public domain W3C validator