MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzel2 Structured version   Unicode version

Theorem eluzel2 11083
Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluzel2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )

Proof of Theorem eluzel2
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5890 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  dom  ZZ>= )
2 uzf 11081 . . 3  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
32fdmi 5734 . 2  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
41, 3syl6eleq 2565 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   ~Pcpw 4010   dom cdm 4999   ` cfv 5586   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-neg 9804  df-z 10861  df-uz 11079
This theorem is referenced by:  eluz2  11084  uztrn  11094  uzneg  11096  uzss  11098  uz11  11100  eluzadd  11106  uzm1  11108  uzin  11110  uzind4  11135  uzsupss  11170  elfz5  11676  elfzel1  11683  eluzfz1  11689  fzsplit2  11706  fzopth  11716  fzpred  11724  fzpreddisj  11725  uzsplit  11746  uzdisj  11747  elfzp12  11753  fzm1  11754  uznfz  11757  nn0disj  11784  fzolb  11798  fzoss2  11817  fzouzdisj  11825  ige2m2fzo  11843  fzen2  12043  seqp1  12086  seqcl  12091  seqfeq2  12094  seqfveq  12095  seqshft2  12097  seqsplit  12104  seqcaopr3  12106  seqf1olem2a  12109  seqf1olem1  12110  seqf1olem2  12111  seqid  12116  seqhomo  12118  seqz  12119  leexp2a  12185  hashfz  12446  fzsdom2  12447  hashfzo  12448  seqcoll  12474  rexanuz2  13141  cau4  13148  clim2ser  13436  clim2ser2  13437  climserle  13444  caurcvg  13458  caucvg  13460  fsumcvg  13493  fsumcvg2  13508  fsumsers  13509  fsumm1  13525  fsum1p  13527  fsumrev2  13556  telfsumo  13575  fsumparts  13579  cvgcmp  13589  cvgcmpub  13590  cvgcmpce  13591  isumsplit  13611  pcaddlem  14262  vdwnnlem2  14369  prmlem0  14445  gsumval2a  15825  telgsumfzs  16809  dvfsumle  22157  dvfsumge  22158  dvfsumabs  22159  coeid3  22372  ulmres  22517  ulmss  22526  chtdif  23160  ppidif  23165  bcmono  23280  axlowdimlem6  23926  extwwlkfablem2  24755  inffz  28583  clim2prod  28599  clim2div  28600  prodfrec  28606  ntrivcvgtail  28611  fprodcvg  28639  fprodser  28658  fprodm1  28673  fprodeq0  28682  preduz  28857  mettrifi  29853  jm2.25  30545  jm2.16nn0  30550  ioodvbdlimc1lem2  31262  ioodvbdlimc2lem  31264  el2fzo  31808
  Copyright terms: Public domain W3C validator