MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzel2 Structured version   Unicode version

Theorem eluzel2 11087
Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluzel2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )

Proof of Theorem eluzel2
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5874 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  dom  ZZ>= )
2 uzf 11085 . . 3  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
32fdmi 5718 . 2  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
41, 3syl6eleq 2552 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   ~Pcpw 3999   dom cdm 4988   ` cfv 5570   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-ov 6273  df-neg 9799  df-z 10861  df-uz 11083
This theorem is referenced by:  eluz2  11088  uztrn  11098  uzneg  11100  uzss  11102  uz11  11104  eluzadd  11110  uzm1  11112  uzin  11114  uzind4  11140  uzsupss  11175  elfz5  11683  elfzel1  11690  eluzfz1  11696  fzsplit2  11713  fzopth  11724  fzpred  11732  fzpreddisj  11733  uzsplit  11754  uzdisj  11755  fzm1  11762  uznfz  11765  nn0disj  11795  fzolb  11810  fzoss2  11830  fzouzdisj  11838  ige2m2fzo  11860  fzen2  12061  seqp1  12104  seqcl  12109  seqfeq2  12112  seqfveq  12113  seqshft2  12115  seqsplit  12122  seqcaopr3  12124  seqf1olem2a  12127  seqf1olem1  12128  seqf1olem2  12129  seqid  12134  seqhomo  12136  seqz  12137  leexp2a  12203  hashfz  12469  fzsdom2  12470  hashfzo  12471  seqcoll  12496  rexanuz2  13264  cau4  13271  clim2ser  13559  clim2ser2  13560  climserle  13567  caurcvg  13581  caucvg  13583  fsumcvg  13616  fsumcvg2  13631  fsumsers  13632  fsumm1  13648  fsum1p  13650  fsumrev2  13679  telfsumo  13698  fsumparts  13702  cvgcmp  13712  cvgcmpub  13713  cvgcmpce  13714  isumsplit  13734  clim2prod  13779  clim2div  13780  prodfrec  13786  ntrivcvgtail  13791  fprodcvg  13819  fprodser  13838  fprodm1  13853  fprodeq0  13861  pcaddlem  14491  vdwnnlem2  14598  prmlem0  14675  gsumval2a  16105  telgsumfzs  17213  dvfsumle  22588  dvfsumge  22589  dvfsumabs  22590  coeid3  22803  ulmres  22949  ulmss  22958  chtdif  23630  ppidif  23635  bcmono  23750  axlowdimlem6  24452  extwwlkfablem2  25280  inffz  29349  preduz  29520  mettrifi  30490  jm2.25  31180  jm2.16nn0  31185  dvgrat  31434  fzdifsuc2  31751  ioodvbdlimc1lem2  31968  ioodvbdlimc2lem  31970  el2fzo  32713
  Copyright terms: Public domain W3C validator