MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzel2 Unicode version

Theorem eluzel2 10449
Description: Implication of membership in a set of upper integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluzel2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )

Proof of Theorem eluzel2
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5716 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  dom  ZZ>= )
2 uzf 10447 . . 3  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
32fdmi 5555 . 2  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
41, 3syl6eleq 2494 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   ~Pcpw 3759   dom cdm 4837   ` cfv 5413   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444
This theorem is referenced by:  eluz2  10450  uztrn  10458  uzneg  10460  uzss  10462  uz11  10464  eluzadd  10470  uzm1  10472  uzin  10474  uzind4  10490  uzsupss  10524  elfz5  11007  elfzel1  11014  eluzfz1  11020  fzsplit2  11032  fzopth  11045  uzsplit  11073  uzdisj  11074  elfzp12  11081  fzm1  11082  uznfz  11085  fzolb  11100  fzoss2  11118  fzouzdisj  11124  fzen2  11263  seqp1  11293  seqcl  11298  seqfeq2  11301  seqfveq  11302  seqshft2  11304  seqsplit  11311  seqcaopr3  11313  seqf1olem2a  11316  seqf1olem1  11317  seqf1olem2  11318  seqid  11323  seqhomo  11325  seqz  11326  leexp2a  11390  hashfz  11647  fzsdom2  11648  hashfzo  11649  seqcoll  11667  rexanuz2  12108  cau4  12115  clim2ser  12403  clim2ser2  12404  climserle  12411  caurcvg  12425  caucvg  12427  fsumcvg  12461  fsumcvg2  12476  fsumsers  12477  fsumm1  12492  fsum1p  12494  fsumrev2  12520  fsumtscopo  12536  fsumparts  12540  cvgcmp  12550  cvgcmpub  12551  cvgcmpce  12552  isumsplit  12575  pcaddlem  13212  vdwnnlem2  13319  prmlem0  13383  gsumval2a  14737  dvfsumle  19858  dvfsumge  19859  dvfsumabs  19860  coeid3  20112  ulmres  20257  ulmss  20266  chtdif  20894  ppidif  20899  bcmono  21014  inffz  25153  clim2prod  25169  clim2div  25170  prodfrec  25176  ntrivcvgtail  25181  fprodcvg  25209  fprodser  25228  fprodm1  25243  fprodeq0  25252  preduz  25414  axlowdimlem6  25790  mettrifi  26353  jm2.25  26960  jm2.16nn0  26965
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-neg 9250  df-z 10239  df-uz 10445
  Copyright terms: Public domain W3C validator